Решение некоторых краевых задач Book · September 018 citations reads 2,702 authors, including

 
3.8-rasm. 
2-masala.
 
Parabolik tipdagi tenglamaga misol tariqasida ushbu
u
t
 = Du
xx
,
t 
> 0, 0 < 
x 
< 
l
diffuziya tenglamasini qaraylik. Bu tenglamani toʻrlar usuli bilan yechish uchun 
toʻrtnuqtali oshkor sxemadan foydalansak (3.6,
a
-rasm), quyidagi chekli ayirmali 
tenglamaga kelamiz [3]: 


j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
h
D
u
,
,
1
,
,
1
2
1
,
2








(3.18) 
Agar ushbu 

<
h
2
/
D
shart bajarilsagina bu oshkor ayirmali sxema ustivor boʻladi. 

---

45 
Bu masalani Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechamiz (dasturda 
chekli ayirmali formuladagi qavs oldidagi ifoda 
a
va 
l
= 

deb belgilash olingan, 
boshlangʻich shart 
u
(
x
,0) = sin(
x
), chegaraviy shartlar esa nolga teng deb 
hisoblangan, ya’ni 
u
(0,
t
)=
u
(

,
t
)=0) [4]: 
a:=0.02 n:=30 m:=50 
i:=0..n-1 j:=1..m-1 





 

m
j
u
j

sin
:
,
0
0
:
0
,
0

u
0
:
,
0

m
u


1
,
,
1
,
,
,
1
2
a
:









j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
u
Natijalarni yechim funksiyasining toʻr grafigi va sath chiziqlari (izoliniyalari) 
shaklida ifodalaylik (3.9-rasm).
3.9-rasm. Har xil vaqt momentlarida diffuziya jarayonining tarqalishi holati. 
Oshkor sxema hamma vaqt ham yetarli yaqinlashishni bermaydi. Bunday kam-
chilikdan qutilish uchun oshkormas sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq. Bun-
day oshkormas sxema deb atalishining sababi tadqiqot funksiyasining izlanayotgan 
qiymatalrini tenglamada vaqtning keyingi qatlamida topishda vaqtning oldingi 
qatlaidagi qiyamtlari orqali oshkor ifodalab boʻlmasligida. 
3-masala.
Oshkormas sxemadan (3.6,
b
-rasm) foydalangan holda 1-masaladagi 
tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini quyidagicha yozamiz: 


1
,
1
1
,
1
,
1
2
,
1
,
2










j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
h
c
u
u

Bunda birinchi indeks fazoviy koordinataga, ikkinchisi esa vaqt koordinatasiga 
mos keladi. Oshkor sxemadan farqli ravishda bu chekli ayirmali tenglamaning oʻng 
tarafida funksiyaning qiymatlari keying vaqt qadamiga tegishli. Ushbu 
µ = c

/
h
2
bel-
gilashni kiritib, chekli ayirmali tenglamani quyidagicha 

---

46 


j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
,
1
,
1
1
,
1
1
,
)
2
1
(











yoki matritsa koʻrinishida quyidagicha 
yozib olamiz, bu yerda 
A
matritsa: 
va
u
(0,
t
) = 
α
= 0,
u
(1,
t
) = 
β
= 0 – chegaraviy shartlar; 
u
(
x
,0) = sin(2

x
) – bosh-
langʻich shart. 
Endi Mathcad matematik paketida bu hisoblashlarni bajarib, berilgan chegaraviy 
masalani sonli yechamiz: 
n:=20 i:=0..n j:=0..n k:=0..n-1 m:=1..n-1 

:=0

:=0

:=3
n
i
x
i

:


i
i
x
u




2
sin
:
0
,


:
,
0
j
u


:
,
j
n
u




2
1
:
,
i
i
A




:
1
,
m
m
A




:
,
1
m
m
A
0
:

i






:
0
0
:

i






:
0














j
j
u
A
u
1
1
:
Yechim funksiyasining toʻr grafigi va sath chiziqlari 3.10-rasmda tasvirlangan. 
3.10-rasm.Chegaraviy masalaning osh-
kormas sxema boʻyicha sonli yechimi 
grafiklari. 

---

47 
4-masala.
Quyidagi yana bir chegaraviy masalani xuddi shunday oshkormas 
sxemali toʻrlar usuli bilan sonli yechamiz: 
u
t
= 
u
xx
+ 
u
x
+
u
,
t
>0, 0 < 
x
< 2

;
u
(0,
t
)=
u
(2

,
t
)=0, 
t
>0;
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 < 
x
< 2

. 
Bu chegaraviy masalani sonli yechishning Mathcad matematik paketidagi 
dasturi va uning sonli natijalari grafiklari (3.11-rasm): 
n:=100 i:=0..n j:=0..n m:=1..n-1 a:=1 
b:=1 c:=1 h:=0.5

:=0.25

h
2 
h
h








 


2
b
a
:
1
2
a
2
1
:
2
h
c









h
h








 


2
b
a
:
3

:=0

:=0
n
i
x
i




2
)
sin(
:
0
,
i
i
x
u



:
,
0
j
u


:
,
j
n
u
2
:
,


i
i
A
1
:
1
,



m
m
A
3
:
,
1



m
m
A
0
:

i






1
:
0
0
:

i






3
:
0














j
j
u
A
u
1
1
:
u
(
x
,
t
)
3.11-rasm.Chegaraviy masalaning oshkormas sxema boʻyicha sonli yechimi grafiklari. 
3.3. Parabolik tipdagi tenglamalarni MATLAB yordamida sonli yechish. 
 
Masalaning qo‘yilishi.
 
Oshkormas ayirmali sxemadan foydalanib, issiqlik 
o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun quyidagi boshlang‘ich-chegaraviy masalani sonli 
yeching: 




























;
0
),
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
(
)
,
(
.
);
(
;
),
,
(
2
2
2
1
1
1
0
0
2
2
T
t
t
x
t
b
u
d
t
b
u
c
t
x
t
a
u
d
t
a
u
c
b
x
a
x
u
u
b
x
a
t
x
f
x
u
t
u
t



---

48 
Masalani yechish algoritmi.
Ayirmali sxema to‘rining tugunlari to‘plamini 
quyidagicha kiritamiz: 



































.
,
,...,
0
,
;
,
,...,
0
,
;
,
S
T
t
S
s
st
t
N
a
b
h
N
n
nh
a
x
D
t
x
n
h
s
n
h
h









D
to‘plamda 
y
hτ
(
x
,
t
) to‘r funksiyasi kiritiladi. Uning qiymatlari izlanayotgan 
u
(
x
,
t
) funksiyaning shu tugunlardagi 
y
hτ
(
x
,
t
) =
s
n
y
qiymatini, 
)
,
(
s
n
s
n
t
x
f


esa 
f
(
x
,
t
) 
funksiyaning shu tugunlardagi qiymatini approksimatsiyalaydi. U holda differensial 
tenglama ushbu 
1
,...,
0
;
1
,...,
1
,
2
2
1
1
1
1
1
1















S
s
N
n
h
y
y
y
y
y
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bilan almashtiriladi. 
Boshlang‘ich shartlar 
u
(
x
,
t
) funksiya uchun to‘r funksiyalari bilan
N
n
x
u
y
n
n
,...,
0
),
(
0
0


kabi chegaraviy shartlar esa [
a
,
b
] kesmaning oxirlarida ushbu 
S
s
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s
,...,
0
;
;
2
1
2
1
1
1
0










tenglamalar sistemasi bilan almashtiri-
ladi. Bu yerdan 
.
,...,
0
;
;
2
1
2
1
1
1
0
S
s
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s










koeffisiyentlarning nimaga 
tengligi topiladi. Boshlang‘ich-chegaraviy masalaning chegaraviy shartlaridan ushbu 
S
s
t
h
y
y
d
y
c
t
h
y
y
d
y
c
s
s
N
s
N
s
N
s
s
s
s
,...,
0
);
(
);
(
2
1
2
2
1
0
1
1
0
1










chekli ayirmali tengliklar kelib chiqadi. 
Agar 
h
qadamni 
0
,
0
2
2
1
1




d
h
c
d
h
c
munosabatlar o‘rinli bo‘ladigan qilib tan-
lasak, u holda quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz: 
S
s
t
d
h
c
h
d
h
c
d
t
d
h
c
h
d
h
c
d
s
s
s
s
s
s
,...,
0
);
(
,
);
(
,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1















Shunday qilib, dastlabki masalani approksimatsiyalovchi quyidagi ayirmali 
sxemaga ega bo‘lamiz: 




























S
s
y
y
y
y
N
n
x
u
y
S
s
N
n
h
y
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s
n
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
,...,
0
;
;
;
,...,
0
),
(
,
1
,...,
0
;
1
,...,
1
,
2
2
1
2
1
1
1
0
0
0
2
1
1
1
1
1
1






Bu yerdan har bir 
s
=0,…,
S
-1 uchun ketma-ket yechish lozim bo‘lgan ushbu 
















;
;
1
,...,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
1
1




N
N
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
N
n
F
y
B
y
C
y
A
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz, bu yerda 
1
,...,
0
,
,...,
0
,
1
,
1
2
,
1
2
2









N
n
S
s
y
F
h
C
h
B
A
s
n
s
n
n
n
n
n



Ushbu sxema progonka usuli bilan yechiladi, ya’ni 
1
1
1





n
n
n
n
y
y


, 
n
=0,…,
N
-
1, bu yerda 
α
, 
β
– progonka koeffisiyentlari. Chap chegaraviy shartdan 
1
0
1
0
,






, 

---

49 
qolgan hadlar ushbu 
,
1
n
n
n
n
n
A
C
B





,
1
n
n
n
n
n
n
n
A
C
F
A







n
=0,…,
N
-1 rekurrent formu-
lalardan topiladi. Endi 
2
2
2
1





N
N
N
y



hisob va teskari progonka ushbu 
0
,...,
1
,
1
1
1







N
n
y
y
n
n
n
n


formulada bajariladi, to‘r funksiyaning qiymatlari 
topiladi. 
Misol.
Quyidagi chegaraviy masalani sonli yeching. 





















.
0
;
0
;
0
,
0
;
1
0
;
)
2
sin(
0
1
0
2
2
t
x
x
u
u
u
t
x
t
x
x
u
t
u

Tugunlar to‘plami quyidagicha:































.
100
,
10
,
100
10
,
100
,...,
0
,
.
100
,
1
,
0
,
100
1
,
100
,...,
0
,
S
T
t
s
st
t
N
b
a
h
n
nh
x
n
h




Izlanayotgan 
)
,
(
t
x
u
funksiyaning to‘rli approksimatsiyasi 
s
n
s
n
h
y
t
x
y

)
,
(

, 
t
x
t
x
f


)
2
sin(
)
,
(

funksiyaniki esa 
t
s
nh
s
n



)
2
sin(


. Berilgan differensial tenglaman-
ing 
oshkormas 
sxema 
bo‘yicha 
ayirmali 
approksimatsiyasi 
99
,...,
0
;
99
,...,
1
,
2
2
1
1
1
1
1
1













s
n
h
y
y
y
y
y
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


kabi. 
Boshlang‘ich 
shart 
100
,...,
0
,
0
0


n
y
n
. Chegaraviy shartlar 
;
;
2
99
2
100
1
1
1
0
s
s
s
s
s
s
s
s
y
y
y
y








.
100
,...,
0

s
Masalaning 
berilishiga 
ko‘ra 
0
,
1
,
0
,
1
2
2
1
1




d
c
d
c
ekanligidan 
;
0
)
(
;
0
)
(
2
1


s
s
t
t


S
s
s
s
s
s
,...,
0
;
0
,
0
;
0
,
0
2
2
1
1









. Chegaraviy shartlar 
.
100
,...,
0
;
0
;
0
100
0



s
y
y
s
s
Berilgan masalani approksimatsiyalovchi ayirmali sxema 
bo‘yicha masala: 






















.
100
,...,
0
;
0
,
0
;
100
,...,
0
,
0
;
99
,...,
0
;
99
,...,
1
,
2
100
0
0
2
1
1
1
1
1
1
s
y
y
n
y
s
n
h
y
y
y
y
y
s
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


Shunday qilib, progonka usuli bilan 100 ta ushbu 












;
0
;
0
;
99
,...,
1
,
0
1
1
N
n
n
n
n
n
n
n
y
y
n
F
y
B
y
C
y
A
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish zarur, bu yerda
99
,...,
0
,
100
,...,
0
,
1
,
1
2
,
1
2
2








n
s
y
F
h
C
h
B
A
s
n
s
n
n
n
n
n



. 
Progonka 
koeffitsiyentlari: 
1
0
1
0
,






, 
,
1
n
n
n
n
n
A
C
B





,
1
n
n
n
n
n
n
n
A
C
F
A







 
n
=0,…,99. Teskari progonka: 
;
0
100

y
.
0
,...,
99
,
1
1
1






n
y
y
n
n
n
n



---

50 
Hisob natijalari.
Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi 
yaratildi, uning natijalari 3.16-rasmda tasvirlangan. 
N = 100; S = 100; T = 10;
h = (1/N); tau = (T/S);
Yrange = 0:h:1; Xrange = 0:tau:T;
for n=1:N+1, for s=1:S+1, 
y(n,s)=0; end; end; 
for n=1:N+1, y(n,1)=0; end; 
A=1/(h.^2); B=1/(h.^2);
C=2/(h.^2) + 1/tau; a(1)=0; b(1)=0; 
F = (1/tau)*y(1,1) + 
sin(2*pi*h)*(1)*tau; 
a(1) = B/(C - a(1)*A); 
b(1)=(A*b(1) + F)/(C - a(1)*A); 
for s=2:S+1, for n=1:N,
F = y(n,s-1)/tau + sin(2*pi*n*h)*(s-
1)*tau ; 
a(n+1)=B/(C - a(n)*A); 
b(n+1)=(A*b(n) + F)/(C - a(n)*A); 
end; y(N+1,s) = 0;
for n=N:-1:1,
y(n,s)=a(n+1)*y(n+1,s)+b(n+1);
end; end; 
surf(Xrange,Yrange,y); colormap gray 
Xlabel('T'); Ylabel('X'); Zlabel('U'); 
3.16-rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari.