|
36
Bundan tashqari, Maple matematik paketning maxsus sonli usullaridan ham
foydalanib, masalani sonli yechish mumkin. Bunga namuna sifatida quyida misol
keltirilgan:
37
6-masala
. Quyidagi chegaraviy masalani (
u
,
v
) noma’lumlarga nisbatan tengla-
malar sistemasi uchun sonli yechish talab qilinadi:
,
5
,
0
5
,
0
x
xx
t
v
u
u
,
5
,
0
5
,
0
x
xx
t
u
v
v
0
,
2
0
t
x
,
0
,
0
)
,
2
(
)
,
0
(
t
t
u
t
u
, (3.9)
0
),
exp(
)
,
2
(
)
,
0
(
t
t
t
v
t
v
,
2
0
,
cos
)
0
,
(
;
sin
)
0
,
(
x
x
x
v
x
x
u
.
38
Yechish
. Bu chegaraviy masala ham xuddi yuqoridagi masala kabi sonli
yechildi, hisob natijalarining
x
[0;
2
],
t
[0;3] kesmalardagi grafigi 3.5-rasmda tas-
virlangan.
u
(
x
,
t
)
a
)
v
(
x
,
t
)
b
)
3.5-rasm. Chegaraviy masala yechimi.
Shunday qilib, ushbu masalalar yechimlari orqali (3.6) oshkor sxemali chekli
ayirmali tenglamaning yetarlicha aniqlikda toʻgʻri natijalar berishi koʻrsatildi.
Yuqoridagi 5-masaladagidek, bu masalani ham
x
[0;
3],
t
[0;3] kesmalarda
Maple matematik paketning pdsolve funksiyasidan foydalanib sonli yechish mumkin:
39
40
3.2. Parabolik tipdagi tenglamalarni Mathcad yordamida sonli yechish.
Yechimi oldindan ma’lum boʻlgan chegaraviy masalani qaraylik:
,
t
>0, 0 <
x
<
,
u
(0,
t
)=
u
(
,
t
)=0,
t
>0,
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 <
x
<
. (3.10)
Bu chegaraviy masalaning analitik yechimi
u
(
x
,
t
)=exp(-
t
)sin(
x
).
Tenglamardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analoglari bi-
lan almashturamiz, bunda ushbu oshkormas sxemalardan foydalanamiz:
Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(3.11)
Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini grafik
koʻrinishda 3.6-rasmdagidek tasvirlash mumkin.
3.6-rasm foydalanilayotgan toʻrtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt
qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol
koʻrsatadi.
a
b
c
3.6-rasm. Toʻrtnuqtali oshkor (
a
), oshkormas (
b
) va
beshnuqtali «xoch» sxema shabloni.
41
Hosilalarni bunday approksimatsiyalash uslubi oshkormas deb atalishiga sabab
vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya’ni
ularni aniqlash uchun berilgan tenglamalar sistemasini yechish zarur.
Hosil boʻlgan tenglamalar sistemasini plastinkalarning ichki tugun nuqtalari
uchun quyidagicha umumiy koʻrinishga keltirish mumkin:
, (3.12)
.
Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi. (3.12) sistema uch
diagonalli tuzilmaga ega. Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli
(3.12) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur.
Faraz qilaylik, shunday
va
(
) sonlar ketma-ketligi
mavjudki, ular uchun
(3.13)
tenglik oʻrinli, ya’ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (3,12) tenglama birinchi tartibli ikki
nuqtali (3.13) tenglamaga aylanadi. (3.13) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va
hosil boʻlgan ushbu
ifodani (3.12) tenglamaga qoʻyamiz:
Bu yerdan esa
Oxirgi tenglik (3.13) koʻrinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha
lar uchun quyidagi munisabatalar bajarilsa:
(3.14)
Bu yerdagi barcha
va
larni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan
topiladigan
va
larni bilishimiz zarur.
42
Endi (3.13) formula boʻyicha ketma-ket
larni topish
mumkin, agar faqatgina oʻng chegaraviy shardan
topilgan boʻlsa.
Shunday qilib, (3.12) koʻrinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek
izlash uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula boʻyicha hisoblash-
larga olib kelinadi: (3.14) formulalar boʻyicha progonka koeffisiyentlari deb ataluv-
chi
va
(
) lar (toʻgʻri progonka) va keyin esa (3.14) formula
boʻyicha
(
) noma’lumlar topiladi (teskari progonka).
Progonka usulini muvaffaqiyatli qoʻllash uchun hisoblashlar jarayonida nolga
boʻlish holati paydo boʻlmasligi va katta oʻlchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez
oshib ketmasligi lozim.
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (3.14) formulalarda progonka
koeffisiyentlarining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar
barcha
lar uchun
shart bajarilsa.
(3.14) tenglamalar progonkasining korrektligi va ustivorligining yetarli sharti
va
(3.15)
ushbu usulning koʻplam tadbiqlarida oʻz-oʻzidan bajariladi.
(3.11) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan
sistemani yechishning toʻla algoritmini tuzamiz.
Ma’lumki,
da
, u holda
.
Bu yerdan esa
.
Xuddi shunday,
da
, u holda
.
Bu yerdan esa
.
Progonka koeffisiyentlari (3.14) formulalardan hisoblanadi.
Shunday qilib, (3.10) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali
munosabatlar quyidagi koʻrinishga keladi:
43
(3.16)
(3.17)
(3.10) differensial masalaning approksimatsiyasi (3.16) - (3.17) boʻlib,
t
vaqt
boʻyicha birinchi va
x
fazoviy koordinata boʻyicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajaril-
gan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya’ni (3.10) chegaraviy masalani
vaqt boʻyicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin. Vaqt boʻyicha
qadam shunday tanlanadiki, toʻla kuzatuv vaqtining intervali hech boʻlmaganda
kamida 10 ta qadamga boʻlinishi lozim.
Mathcad dasturi natijalari esa quyidagicha (3.7-rasm).
1-masala.
Xuddi shunday, yechimi oldindan ma’lum boʻlgan quyidagi yana bir
chegaraviy masalani qaraylik:
u
t
= 0.5
u
xx
-0.5
u
,
t
>0, 0 <
x
<
,
u
(0,
t
)=
u
(
,
t
)=0,
t
>0,
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 <
x
<
.
Bu chegaraviy masalaning ham analitik yechimi
u
(
x
,
t
)=exp(-
t
)sin(
x
).
3.7-rasm.
44
Bu chegaraviy masalani yechishning Mathcad matematik paketidagi dasturi va
uning natijalari esa quyidagicha (3.8-rasm):
Do'stlaringiz bilan baham: |
