Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение вспомогательного уравнения: 
В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим  и  в исходное неоднородное уравнение  :

Два слагаемых в левой части взаимоуничтожаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква  из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

В итоге: 

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ: общее решение: 
И один пример для самостоятельного решения: