Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа



Download 37,51 Kb.
bet2/3
Sana04.06.2022
Hajmi37,51 Kb.
#634113
TuriРешение
1   2   3
Bog'liq
7-mAVZU Tayyor

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение: 
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо  пишем ноль.
Уравнение  я буду называть вспомогательным уравнением.
В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения  .
На втором шаге заменим константу  некоторой пока ещё неизвестной функцией  , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу  . Как вариант, константа  может быть некоторой функцией  , которую нам предстоит сейчас найти.
В исходном неоднородном уравнении  проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим  и  в уравнение  :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части взаимоуничтожаются. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции  приплюсовываем «нормальную» константу  :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену: 
Функция  только что найдена!
Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:
Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.
Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения 
(Диффур из Примера № 8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)
Решение: Приведем уравнение к виду  :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Download 37,51 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish