15-MAVZU. UCH O`LCHOVLI INTEGRAL , UNINGXOSSALARI, GEOMETRIK MA`NOSI VA HISOBLASH USULLARI.
REJA:
UCH KARRALI INTEGRALNI DEKART KORDINATA SISTEMASIDA HISOBLASH.
UCH KARRALI INTEGRALDA O`ZGARUVCHILARNI ALMASHTRISH.
SILINDRIK VA SFERIK KORDINATA SISTEMASIDA UCH KARRALI INTEGRAL.
UCH KARRALI INTEGRAL TATBIQLARI
UCH O`LCHOVLI FAZADA SOHA VA SHU SOHADA U=f(X;Y;Z)UZLUKSIZ
FUNKSIYANI QARAYMIZ.
SOHANI PARALEL YOKI HAR XIL SIRTLAR BILAN ∆ i(i=√4) ELELMENTLAR
HAJMLARGA EGA.
∆ i DA BITTADAN Pi(Xi,Yi,Zi) OLAMIZ.
SHU NUQTALARDA FUNKSIYANING f (pi) = f (Xi; Yi; Zi) QIYMATLARINI
HISOBLAYMIZ.
USHBU KO`PAYTMANI TUZAMIZ f(Xi;Yi;Zi) ∆ i
BU KO`PAYTMALARDAN INTEGRAL YIG`INDINI TOPAMIZ.
∑ f (Xi; Yi; Zi) ∆ i (1)
TEOREMA: AGAR u=f(x, y, z) funksiya yopiq chegralangan
𝟂 sohada uzluksiz bo`lsa u holda sohani ∆ i qisimlarga bo`lish sihaning ortishi bilan n→∞ elementlar hajmlar diametrning eng kattasi nolga intilganda (1) ko`rinishdagi integral yig`indi mavjud bo`lib u uch o`lchovli integralga teng bo`ladi.
Bu limit 𝟂 sohani ∆ i qisimlarga bo`lish usuliga va ulardan olingan pi nuqtalarni tanlash usuliga bog`liq emas.
Limmaxd∆ i f(Xi ; Yi; Zi) ∆ i =∫∫∫ f(x, y, z) dxdydz (2)
Bu yerda dxdydz - dekart koordinata sistemasidagi hajm elementi deyiladi.
V=∫∫∫dxdydz agar f(x, y, z )=1 bo`lsa m=∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz
Agar f(x, y, z)- zichlik funksiya bo`lsa , (2) formula f(x, y, z)
Funksiyaning boshqa qiymatlarida sodda geometrik ma`noga ega emas.
Xossalari: 1) V=∫∫∫ kfd 𝟂=k∫∫∫ f(1)d 𝟂
2) ∫∫∫(f±ϕ) d 𝟂=∫∫∫ fd 𝟂±∫∫∫ϕd𝟂
3)𝟂= 𝟂i= 𝟂 2∫∫∫=∫∫∫i+∫∫∫2
4)f≤0→∫∫∫≥0f≤0→∫∫∫≤0
S ∫∫∫𝟂 f≥∫∫∫𝟂 ϕd𝟂
O`rta qiymat haqidagi teorema.
Agar funksiya yopiq chegaralangan sohada uzluksiz bo`lsa u holda bu sohada nuqta mavjudki: ∫∫∫𝟂 f(x,y,z)d𝟂=f(x0,y0,zo)-V bo`ladi.
Bu yerda V 𝟂sohaning hajmi.
f(x0,y0,zo)=1/V∫∫∫𝟂 f(x,y,z)d𝟂 Bu qiymat f(x,y,z)
funksiyaning o`rta qiymati deyiladi.
Teorema: Agar m va M qiymat 𝟂sohaning eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa u holda m*V≤∫∫∫𝟂 f(x,y,z)d𝟂≤M*V bo`ladi.
𝟂- jisimni qaraymiz.
ay12 y1(x)≤y≤y2(x)
z12 z1(x,y)≤z≤z2(x,y)
∫∫∫𝟂 f(x,y,z)dxdydz=∫a bdx∫y1y2dy∫z1z2f*dz
∫∫∫ ni hisoblash uchta aniq integralnik.k.k. integralga keltiradi.
MISOL:
1) x=0, y=0, z=0 va x+y+z=1 sirtlar
Bilan chegaralangan jismning hajmini toping.
YECHISH: V=∫∫∫𝟂 dxdydz=1/6 kub birlik.
Y=x2 , y=√x, z=1 sirtlar bilan chegaralangan hajmini hisoblang.
V=3/10 KUB
3 karrali integralda o`zgaruvchilarni almashtrish.
∫∫∫𝟂 f(x,y,z)dxdydz da x=x(u,v,t), y=y(u,v,t),
Z=z(u,v,t)
OXYZ sistemadagi p(x,y,z)o,u,v,𝟂 sidagi p(u,v,𝟂) nuqtaga mos qo`yiladi. 𝟂→𝟂
Silindrik kordinatalar:
M(x,y,z)=M(rcosϕ;rsinϕ; z)
M(r,ϕ,z) silindirik kordinatalar.
∭f(x,y,z)dxdydz=∭f(rcosϕ;rsinϕ)r dr dϕ dz
r≥0 0≤ϕ≤2 -∞
MISOL:
∭𝟂 f(x2+y2+1)dxdydz z=x2+y2 z=1
Sferik kordinatalar:
M(x,y,z) M(r,ϕ⨀) sferik kordinatalari.
Sferikdan dekartga o`tish.
Vx,y,z=J*Vr,⨀,ϕ
Yakobian J- hajmni o`zgarish koefsientlari.
MISOL:
∭𝟂 f(x,y,z)dxdydz 𝟂:(x2+y2+z2≤1 x,y,z≥0)
𝟂={0≤ϕ≤п/2 0≤ϕ≤п/2
0≤p≤1}
∭𝟂xdxdydz=∫dϕ*∫d⨀∫ psin⨀cosϕ(p2sin⨀)dp=∫dϕ*∫d⨀∫ p3sin2⨀*cosϕdp=1/4
∫0п/2 dϕ*∫0п/2 *cosϕ 1=cos2⨀/2*d⨀=1/4
∫0п/2 cosϕdϕ(1/2⨀+1/4sin2⨀)∫0п/2=
¼(п/4)* ∫0п/2 cosϕdϕ=п/6*sinϕ∫0п/2п/16.
Do'stlaringiz bilan baham: |