Reja: uch karrali integralni dekart kordinata sistemasida hisoblash

15-MAVZU. UCH O`LCHOVLI INTEGRAL , UNINGXOSSALARI, GEOMETRIK MA`NOSI VA HISOBLASH USULLARI.

REJA:

1. 
   UCH KARRALI INTEGRALNI DEKART KORDINATA SISTEMASIDA HISOBLASH.
   
2. 
   UCH KARRALI INTEGRALDA O`ZGARUVCHILARNI ALMASHTRISH.
   
3. 
   SILINDRIK VA SFERIK KORDINATA SISTEMASIDA UCH KARRALI INTEGRAL.
   
4. 
   UCH KARRALI INTEGRAL TATBIQLARI
   

UCH O`LCHOVLI FAZADA SOHA VA SHU SOHADA U=f(X;Y;Z)UZLUKSIZ

FUNKSIYANI QARAYMIZ.

1. 
   SOHANI PARALEL YOKI HAR XIL SIRTLAR BILAN ∆ _i(i=√4) ELELMENTLAR
   

HAJMLARGA EGA.

2. 
   ∆ _i DA BITTADAN P_i(X_i,Y_i,Z_i) OLAMIZ.
   
3. 
   SHU NUQTALARDA FUNKSIYANING f (p_i) = f (X_i; Y_i; Z_i) QIYMATLARINI
   

HISOBLAYMIZ.

4. 
   USHBU KO`PAYTMANI TUZAMIZ f(X_i;Y_i;Z_i) ∆ _i
   
5. 
   BU KO`PAYTMALARDAN INTEGRAL YIG`INDINI TOPAMIZ.
   

∑ f (X_i; Y_i; Z_i) ∆ _i (1)

TEOREMA: AGAR u=f(x, y, z) funksiya yopiq chegralangan
𝟂 sohada uzluksiz bo`lsa u holda sohani ∆ <sub>i</sub> qisimlarga bo`lish sihaning ortishi bilan n→∞ elementlar hajmlar diametrning eng kattasi nolga intilganda (1) ko`rinishdagi integral yig`indi mavjud bo`lib u uch o`lchovli integralga teng bo`ladi.
Bu limit 𝟂 sohani ∆ <sub>i</sub> qisimlarga bo`lish usuliga va ulardan olingan p_i nuqtalarni tanlash usuliga bog`liq emas.

Lim_maxd∆ _i f(X_i ; Y_i; Z_i) ∆ _i =∫∫∫ f(x, y, z) dxdydz (2)

Bu yerda dxdydz - dekart koordinata sistemasidagi hajm elementi deyiladi.

V=∫∫∫dxdydz agar f(x, y, z )=1 bo`lsa m=∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz
Agar f(x, y, z)- zichlik funksiya bo`lsa , (2) formula f(x, y, z)
Funksiyaning boshqa qiymatlarida sodda geometrik ma`noga ega emas.
Xossalari: 1) V=∫∫∫ kfd 𝟂=k∫∫∫ f(1)d 𝟂

2) ∫∫∫(f±ϕ) d 𝟂=∫∫∫ fd 𝟂±∫∫∫ϕd𝟂

3)𝟂= 𝟂_i= 𝟂 _{2∫∫∫=∫∫∫i+∫∫∫2}

4)f_{≤0→∫∫∫≥0}f≤0→∫∫∫≤0

5. 
   S ∫∫∫_𝟂 f≥∫∫∫_𝟂 ϕd𝟂
   

O`rta qiymat haqidagi teorema.

Agar funksiya yopiq chegaralangan sohada uzluksiz bo`lsa u holda bu sohada nuqta mavjudki: ∫∫∫<sub>𝟂</sub> f(x,y,z)d𝟂=f(x<sub>0,</sub>y<sub>0,</sub>z<sub>o</sub>)-V bo`ladi.

Bu yerda V 𝟂sohaning hajmi.

f(x_0,y_0,z_o)=1/V∫∫∫_𝟂 f(x,y,z)d𝟂 Bu qiymat f(x,y,z)
funksiyaning o`rta qiymati deyiladi.
Teorema: Agar m va M qiymat 𝟂sohaning eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa u holda m*V≤∫∫∫_𝟂 f(x,y,z)d𝟂≤M*V bo`ladi.

𝟂- jisimni qaraymiz.

ay₁2 y₁(x)≤y≤y₂(x)
z₁2 z₁(x,y)≤z≤z₂(x,y)

∫∫∫_𝟂 f(x,y,z)dxdydz=∫_a ^bdx∫_y1^y2dy∫_z1^z2f*dz

∫∫∫ ni hisoblash uchta aniq integralnik.k.k. integralga keltiradi.

MISOL:

1) x=0, y=0, z=0 va x+y+z=1 sirtlar
Bilan chegaralangan jismning hajmini toping.

YECHISH: V=∫∫∫_𝟂 dxdydz=1/6 kub birlik.

Y=x² , y=√x, z=1 sirtlar bilan chegaralangan hajmini hisoblang.

V=3/10 KUB
3 karrali integralda o`zgaruvchilarni almashtrish.
∫∫∫_𝟂 f(x,y,z)dxdydz da x=x(u,v,t), y=y(u,v,t),
Z=z(u,v,t)

OXYZ sistemadagi p(x,y,z)o,u,v,𝟂 sidagi p(u,v,𝟂) nuqtaga mos qo`yiladi. 𝟂→𝟂

Silindrik kordinatalar:
M(x,y,z)=M(rcosϕ;rsinϕ; z)
M(r,ϕ,z) silindirik kordinatalar.
∭f(x,y,z)dxdydz=∭f(rcosϕ;rsinϕ)r dr dϕ dz
r≥0 0≤ϕ≤2 -∞
MISOL:
∭_𝟂 f(x²+y²+1)dxdydz z=x²+y² z=1

Sferik kordinatalar:

M(x,y,z) M(r,ϕ⨀) sferik kordinatalari.
Sferikdan dekartga o`tish.
V<sub>x,y,z</sub>=J*V<sub>r,⨀,ϕ</sub>
Yakobian J- hajmni o`zgarish koefsientlari.

MISOL:
∭_𝟂 f(x,y,z)dxdydz 𝟂:(x²+y²+z²≤1 x,y,z≥0)

𝟂={0≤ϕ≤п/2 0≤ϕ≤п/2
0≤p≤1}
∭_𝟂xdxdydz=∫dϕ*∫d⨀∫ psin⨀cosϕ(p²sin⨀)dp=∫dϕ*∫d⨀∫ p³sin²⨀*cosϕdp=1/4
∫₀^п/2 dϕ*∫₀^п/2 *cosϕ 1=cos2⨀/2*d⨀=1/4
∫₀^п/2 cosϕdϕ(1/2⨀+1/4sin2⨀)∫₀^п/2=
¼(п/4)* ∫₀^п/2 cosϕdϕ=п/6*sinϕ∫₀^п/2п/16.