Reja: Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi

5. UZLUKSIZ FUNKTSIYa UChUN FURYE QATORI

f(x) funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga ega bo`lmasin. U holda, f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz va x ning (- , ) oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.

Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi

,

ya`ni f (- ) va f (+ ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.

Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va ekstremumlarga ega bo`lmasin.

Yechilishi:

Funktsiyaning Furye qatordagi koeffisiyentlar nollardan iboratdir. Xakikatdan ham

(1)

Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng ko`rinishga kelib, ikkinchi qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni: a_n=0 (bunda n=0,1,2,…). (2)