Reja: Trigonometrik funktsiyalar sistemasining ortogonalligi

b_n koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:

(3)

yoki (4)

U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

5)

Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. - < x < da uning yig`indisi quyidagiga teng bo`ladi:

(6)

x=± da yig`indi . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.

da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:

(7)
6. JUFT VA TOQ FUNKTSIYaLAR UChUN FURYE QATORI[[[[[[[[

f(x) funktsiya biror (- , ) oraliqda aniqlangan bo`lsin. Bu funktsiya argument ishorasining o`zgarishi bilan o`z ishorasini o`zgartirmasa, ya`ni:

(1)

bo`lsa, f (x) toq funktsiya; agar o`z ishorasini o`zgartirsa, ya`ni bo`lsa, juft funktsiya deb nomlanadi.

Quyidagi va integrallar juft funktsiyalar bo`lganda o`zaro teng, toq bo`lganda esa ishoralari bilan farqlanadi. Shuning uchun juft funktsiyalar uchun (3)

toq funktsiyalar uchun esa (4)

interallar o`rinlidir.

Juft funktsiyalar uchun Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti quyidagicha bo`ladi:

(5)

Toq funktsiyalar uchun Furye qatorida kosinuslar va ozod hadlar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti

(6)

ko`rinishga ega bo`ladi.

1-misol. f(x)=x funktsiya toqdir. Uning Furye qatorida kosinus va ozod had ishtirok etmaydi. b_n koeffisiyentlari quyidagicha bo`ladi:



2-misol. f (x)=׀x׀ funktsiya juft. U holda, uning Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. a₀ koeffisiyent quyidagiga teng bo`ladi:

(7)

n≠0 bo`lganda a<sub>n</sub> koeffisiyent quyidagidan iborat bo`ladi:

(8)

ya`ni (bunda k=1,2,3,…). (9)

funktsiya uchun Furye qatori quyidagidan iborat:

(10)