Reja: To’plamlar nazariyasi elementlari tatbiqiy masalalari

3. Determinantning xossalari.

1-xossa. Determinantning hamma ustunlarini uning mos satrlari bilan o‘rnini almashtirishdan determinant o‘zgarmaydi, ya’ni

Isbot. berilgan determinant, esa dan uning satrlarini mos ustunlar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan determinant bo‘lsin. ni birinchi satr elementlari bo‘yicha yoyib chiqamiz:

Endi * ni birinchi ustun elementlari bo‘yicha yoyib chiqamiz:

Demak,

(Determinantni satr va ustun elementlari bo‘yicha yoyib hisoblashni mustaqil o‘rganish talabalarga topshiriladi.)

2-xossa. Determinantning istalgan ikkita satrining (yoki ikki ustunining) o‘rinlari almashtirilsa, determinantning ishorasi qarama-qarshisiga o‘zgaradi. Masalan, agar birinchi va uchinchi satrlarning o‘rinlarini almashtirsak:



3-xossa. Ikkita satri yoki ikkita ustuni bir xil bo‘lgan determinantning qiymati nolga teng.

4-xossa. Biror satr (yoki ustun) elementlarining umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Isbot. Aytaylik, determinantning ikkinchi satr elementlari umumiy ko‘paytuvchiga ega bo‘lsin: Bu determinantni ikkinchi satr elementlari bo‘yicha yoyamiz.




5-xossa. Determinantning biror ustun (satr) elementlariga boshqa ustunning (satrning) bir xil songa ko‘payttirilgan mos elementlarini qo‘shishdan determinantning qiymati o‘zgarmaydi.