Reja: To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Tinglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin Qutb koordinatalar

30-misol. (27-chizma) ning bir arkasining Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`ladigan jismning hajmini toping.
Yechish (8) formuladan foydalansak, x`(t)=a(1-cost) bo`lib, ekanligini e`tiborga olib quyidagini topamiz:

Ma`lumki,

Demak,
Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziq va radius vektorlar bilan chegaralangan yassi shaklning qutb o`qi atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jism hajmi (9) formula bilan hisoblanadi.
Agar bo`lsa (10)
31-misol
Arximed spirali (30-chizma) ning yarim aylanasini ( ) qutb o`qi aylantirishdan hosil bo`ladigan jismning hajmini toping.
Yechish. (10) formuladan foydalaning.




5. Aylanma jism sirtining yuzi

1. 
   To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida y=f(x) ( ) silliq egri chiziq yoyini Ox o`qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo`ladigan jism sirtining yuzi (11) formula bilan hisoblanadi.
   
2. 
   Agar silliq egri chiziq parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, sirt yuzi (12) formula bilan hisoblanadi.
   
3. 
   Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida ko`rinishda berilgan bo`lsa, uning qutb o`qi atrofida hosil bo`lgan jism sirtining yuzi (13) formula bilan hisoblanadi.
   

32-misol. y=sinx sinus ifodaning x=0 dan gacha bo`lgan yoyini Ox oqi atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt yuzini toping (35-chizma)



Yechish.(11) formuladan foydalansak:

Bunda
formuladan foydalandik.


33-misol. sikloida (27-chizma) ning bir arkasini Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan sirt yuzini hisoblang.