Reja: To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Tinglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin Qutb koordinatalar

2 Tenglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash.

Egri chiziq tenglamasi (13) parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, bunda uzluksiz, differensiallanuvchi funksiyalar. Bu holda (13) tenglama biror y=f(x) uzluksiz funksiyani aniqlab, uzluksiz hosilaga ega.

bo`lsin. Bu holda (12) integralda (14) almashtirishni bajarib, (15) yoy uzunligini hisoblovchi formulani hosil qilamiz.
Izoh. Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar (16) bilan berilgan bo`lsa , u holda yoyning uzunligi (16) formula bilan aniqlanadi.
26-misol. siklorida bitta arki (27-chizma) uzunligini hisoblang.
Yechish. Sikloida arklari bir xil bo`lgani uchun (15)uning bitta arkini olamiz.
Bunda t parametr 0 dan gacha o`zgaradi, bo`lgani uchun fo`rmulaga ko`ra egri chiziqning uzunligi quyidagicha aniqlanadi :



3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi

Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglamasi bo`lsin, bunda qutb radiusi, qutb burchagi.

Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o`tish formulasini yozamiz: . Agar bunda o`rniga uning orqali ifodasini qo`ysak, u holda tenglamalari hosil bo`ladi. Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb harash va yoy uzunligini hisoblash uchun formulani tatbiq etish mumkin. Buning uchun x va y dan parametr bo`yicha hosila olamiz: .
Bu holda (18) orqali egri chiziq yoyi uzunligi hisoblanadi. Bunda va qutb burchagi ning yoy uchlaridagi qiymatlari ( ).
27-misol. Arximed spirali ning bir o`rami uzunligini toping. (30. chizma).
Y echish. Ma`lumki Arximed spiralining bir o`rami ning 0 dan gacha o`zgarishida hosil bo`ladi. ekanligini va (1) formulaga ko`ra:
Bunda formuladan foydalandik.