Reja: Teskari funksiyaning hosilasi. Murakkab funksiyaning hosilasi. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari Logarifmik hosila. Daraja-ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi. Trigonometrik funksiyalarning hosilalari Teskari trigonometrik funksiyalarning

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari



y=x^m (x>0) darajali funksiyaning hosilasi. Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi Dy=(x+Dx)^m-x^m=x^m(( )^m-1) ga teng va bo`ladi. Ma`lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y`=mx<sup>m-1</sup> bo`ladi.
Demak, (x^m)`=mx<sup>m-1</sup> va d(x<sup>m</sup>)=mx<sup>m-1</sup>dx formulalar o`rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^m ko`rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))<sup>m</sup>)`=m(u(x))^m-1×u`(x), d((u(x))<sup>m</sup>)= m(u(x))<sup>m-1</sup>×u`(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), m=3. Demak, yuqoridagi formulaga ko`ra
y`=3(x²+1)²×((x²+1)`=3((x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>×2x=6x(x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup> bo`ladi.

Ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi. y=a<sup>x</sup> (a>0, a¹1) ko`rsatkichli funksiya uchun Dy=a^x+Dx -a^x=a^x(a^Dx-1) va .
Ma`lumki, . Shuning uchun = =a<sup>x</sup>lna mavjud. Demak (a<sup>x</sup>)`=a^xlna va d(a^x)`=a<sup>x</sup>lnadx, xususan, (e<sup>x</sup>)`=e^x va d(e^x)`=e<sup>x</sup>dx formulalar o`rinli ekan.
Ko`rinib turibdiki, y=e<sup>x</sup> funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o`ziga teng ekan.
Misol. y=e^x funksiya grafigi Oy o`qini qanday burchak ostida kesib o`tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o`qini (0;1) nuqtada kesib o`tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y`=e^x va y`(0)=e<sup>0</sup>=1, bundan esa urinmaning Ox o`qi bilan kattaligi p/4 ga teng bo`lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o`qi bilan ham kattaligi p/4 ga teng bo`lgan burchak tashkil qiladi.
1-rasmda y=e<sup>x</sup> funksiya grafigi berilgan, bunda funksiya grafigi 10-rasm
x=0 nuqta atrofida y=x-1 to`g`ri chiziqqa urinadi.
Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta`rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o`qini p/4 burchak ostida kesib o`tuvchi ko`rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.
a<sup>u(x)</sup> (a>0, a¹1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o`rinli bo`lishini ko`rish qiyin emas: (a^u(x))`= a<sup>u(x)</sup>×u`(x)×lna, d(a^u(x))= a^u(x)×u`(x)×lna×dx.
Masalan, (3<sup>5x-3</sup>)`=3^5x-3×(5x-3)`×ln3=5×3^5x-3×ln3.

2.