Reja: Statik moment. Og`irlik markazi

> Mx:=int((y1(t)^2*diff(x1(t),t)-y2(t)^2*diff(x2(t),t))/2, t=0..Pi/2);
> Xc:=My/s; Yc:=Mx/s;
Og`irlimk markazi C(1;0.4) nuqtada. Bu misoldan ko`rinadiki, og`irlik markazi bu shaklning simmetriya o`qidadir.

25-rasm. 26-rasm.

Bu umumiy xossa bo`lib, agar birjinsli shakl biror o`qqa nisbatan simmetrik bo`lsa, uning og`irlik markazi shu simmetriya o`qida yotadi.

(33) formulalarning ikkinchisini

ko`rinishga keltirish qiyin emas. Bundan ko`rinadiki, tenglikning o`ng tomoni x[a;b] 0 f<sub>1</sub>(x)f<sub>2</sub>(x) faraz asosida tekis shaklni Ox o`qi atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan jismning hajmidan iborat bo`lsa, chap tomoni esa birjinsli tekis shakl yuzini uning og`irlik markazi Ox o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan aylananing uzunligiga ko`paytmasidir. Ya`ni quyidagi o`rinli ekanligini oldik.
3-teorema (Guldenning ikkinchi teoremasi). Birjinsli tekis shaklni uning tekisligida yotgan va uni kesmaydigan o`q atrofida aylantirishdan hosil bo`lgan aylanish jismining hajmi shakl yuzini og`irlik markazi aylanishidan hosil bo`lgan aylana uzunligiga ko`paytmasiga tengdir: V=2YS.

27- rasm


42-misol. Radiusi r ga teng bo`lgan birjinsli yarim doiraning og`irlik markazini toping (27- rasmga qarang).
Yechish. Agar yarim doirani 27- rasmdagidek
joylashtirsak, u Oy o`qqa nisbatan simmetrikdir. Demak og`irlik markazi shu o`qda yotadi: X=0. Guldenning ikkinchi teoremasi asosida
bundan
Demak, og`irlik markazi C nuqtada.
40-misol. Qutb koordinatalar tekisligida berilgan =a(1+cos) kordioida bilan figura og`irlik markazining Dekart koordinatalarini hisoblang.
Yechish.
Suratdagi integralni hisoblaymiz:

Bunda birinchi va ikkinchi qo`shiluvchilarnin integrali ga bogliq funktsiya bo`ganligi uchun nolga teng. Qolgan integralini topamiz:

=
Maxrajdagi integralni topamiz:

Bundan
Figura Ox o`qqa simmetrikligidan bo`ladi. Demak: C .