|
Og`irlik markazi. Parallel kuchlarning markazlarini aniqlash. Qattiq jismlarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
Reja:
1. Parallel kuchlarning markazini aniqlash.
2. Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
4. Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
5. Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
1.Parallel kuchlarning markazini aniqlash.
Parallel kuchlarning markazini aniqlash uchun quyidagi ikkita qoidani bajarilishi shart:
Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarni o`z tasir chiziqlari bo`yicha bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga ko`chirish mumkin emas, yani ularning qo`yilgan nuqtalari o`zgarmay qolishlari shart. Masalan og`irlik kuchlari shunday kuchlar guruhiga kiradilar.
Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarning son qiymatlari o`zgarmas bo`lishi shart, aks holda markazning o`rni muqim bo`lmay qoladi.
Agar parallel kuchlarning modullari vaqt mobaynida o`zgaruvchan bo`lsa, ularning markazi bo`lgan S nuqtaning koordinatalri ham o`zgaruvchan funktsiyadan iborat bo`ladi.
Agar ushbu shartlar bajarilsa, harqanday parallel kuchlar sistemasi uchun shunday bir nuqta topish mumkinki, shu kuchlar sistemasini hohlagan tomonga burilganda ham u nuqta shu kuchlarning markazi bo`lib qolaveradi.
Nazariy mexanika fanida bu nuqtani lotincha S harfi bilan belgilash qabul qilingan bo`lib, lotincha centrum - doiraning markazi degan manoni anglatadi.
Endi yuqoridagi shartlar bajarilgan parallel kuchlar sistemasi uchun ularning markazini aniqlashni ko`rib chiqaylik.
Faraz qilaylik berilgan koordinata sistemalarining S1, S2, S3, .............SN nuqtalariga modullari R1, R2, R3, .................RN ga teng bo`lgan N - ta parallel kuchlar qo`yilgan bo`lsin, va bu kuchlar Oz o`qiga parallel ravishda yo`nalgan bo`lsinlar.
Har bir kuch qo`yilgan nuqtaning tegishli koordinatalari berilgan bo`lsin, ular tegishlicha S1(x1,y1,z1), S2(x2,y2,z2), S3(x3,y3,z3),............... SN(xN,yN,zN) larni tashkil etsin. Endi biz ularning teng tasir etuvchisi R - ning modulini aniqlaylik, bu juda oson masala bo`lib, u quyidagi bitta tenglama orqali aniqlanadi, yani
(1)
Varinon teoremasiga binoan, harqanday kuchlarning biror o`qqa nisbatan olingan momentlarining yig`indilari, shu kuchlarning teng tasir etuvchisini shu o`qqa nisbatan olingan momentiga teng. SHunga ko`ra quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi, yani
(2)
ushbu tenglamadan , xuddi shu kabi barcha kuchlarning momentlarini Ou o`qiga nisbatan olib, , ni aniqlaymiz.
Endi teng tasir etuvchining Oz o`qidagi koordinatasini aniqlash uchun, barcha kuchlarni o`z qo`yilgan nuqtalari atrofiga bir tomonga 90o ga buramiz, va aytaylik ular Ou o`qiga parallel holiga keldilar, deb faraz qilib, shu kuchlarni yana bir marta Ox o`qiga nisbatan momentlarini olib, , ni ham aniqlaymiz.
SHunday qilib, biz harqanday parallel kuchlar sistemasining teng tasir etuvchisining qo`yilgan nuqtasining (markazining) koordinatalarini aniqlovchi formulalarni keltirib chiqardik, yani
, , va ,
(3)
larni keltirib chiqardik.
2.Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
Erning atrofida joylashgan harqanday zarrachaga ularning massalariga proportsional ravishda erning tortish kuchi, boshqacha aytganda og`irlik kuchlari tasir etadi. Umuman olganda zarrachalarning oralaridagi masofa katta bo`lsa, ushbu og`irlik kuchlarining yo`nalishlari bir birlariga parallel emas.
Lekin zarrachalar orasidagi masofa erning radiusiga nisbatan juda kichkina masofani tashkil etgan hollarda og`irlik kuchlarini o`zaro parallel deb qabul qilinadi. Ularning yo`nalishlari va modullari o`zgarmas bo`lganliklari uchun, harqanday qattiq jismning og`irlik markazlari o`zgarmas bo`ladi. Quyida shu nuqtalarni aniqlash bilan shug`ullanamiz.
Faraz qilaylik, N - zarrachalardan iborat qattiq jism berilgan bo`lsin, va har birining og`irlik kuchlari tegishlicha R1, R2, R3, .................RN larga teng bo`lib, ularning koordinatalari tegishlicha S1(x1,y1,z1), S2(x2,y2,z2), S3(x3,y3,z3),............... SN(xN,yN,zN) dan iborat bo`lsin, u holda bu qattiq jismning umumiy og`irligi - R, quyidagi formuladan aniqlanadi, yani
(4)
ga teng bo`lsin.
Endi bu kuchlar parallel bo`lganliklari uchun ularning markazi, yani jismning og`irlik markazi yuqorida isbotlangan formulalar orqali aniqlanadi, yani
, , ,
(5)
Shunday qilib qattiq jismning og`irlik markazi , uning shunday bir nuqtasiki jismni qaysi tomnga aylantirishdan qatiy nazar uning umumiy og`irligining tasir chizig`i shu nuqtani albatta kesib o`tadi. Bu nuqtani yuqorida takidlaganimizdek lotincha S - harfi bilan belgilaymiz.
Bazi hollarda qattiq jismning og`irlik markazi joylashgan nuqta bo`shliqdan iborat bo`lishi ham mumkin, masalan halqaning og`irlik markazi uning geometrik markazi yani bo`shliqda yotadi. Boshqacha qilib aytganda qattiq jismning og`irlik markazi, bu shunday nuqtaki uning atrofidagi massalar shu nuqtaga nisbatan simmetrik ravishda joylangandirlar.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
Agar qattiq jism bir xil materialdan tayyorlangan bo`lsalar, ularning har bir qismining og`irligi, shu qismlarning hajmlariga to`g`ri proportsional bo`ladi. Masalan R1hV1, R2hV2 , R3hV3 ................ RNhVN ga teng, va jismning umumiy og`irligi RhV teng bo`lib, bu erda V1 ,V2, V3 .......... VN lar qattiq jismning bo`laklarini hajmlari, V - qattiq jismning umumiy hajmi. - jismni tashkil etgan moddaning solishtirma og`irligi.
Endi og`irlik kuchlarining ushbu qiymatlarini yuqoridagi formulaga qo`yib, surat va mahrajlarini - ga qisqartirib yuborsak, quyidagi formulalarni olamiz, yani
, , , (6)
Agar qattiq jism bir xil qalinlikdan iborat plastinadan tayyorlangan bo`lsa, ushbu formulalardagi hajmlar yuzalarga proportsional bo`ladilar. SHu sababli
, , , (7)
bu erda Sk,- jism bo`laklarining yuzalari, S - jismning umumiy yuzasi.
Agar qattiq jism bir xil yo`g`onlikdagi simlardan tayrlangan bo`lsa, uning og`irlik markazi, bo`laklarining uzunliklariga proportsional ravishda aniqlanadilar, yani
, , , (8)
bu erda - lar jism bo`laklarining uzunliklari, L - jismning umumiy uzunligi. SHunday qilib, bir jinsli moddadan tayyorlangan qattiq jismlarning og`irlik markazlarini ularning bo`lakalrini hajmlari, yuzalari yoki uzunliklari orqali aniqlanar ekan.
4.Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
a) Doiraning, aylananing va sharning og`irlik markazi ularning geometrik markazida yotadi.
v) To`g`rito`rtburchak, parallelogramm, rombning og`irlik markazlari ularning diagonallarining kesishgan nuqtasida yotadi.
s) Uchburchak yuzali qattiq jismning og`irlik markazi medianalarining kesishgan nuqtalarida yotadi.
d) Simmetriya tekisligiga, yuzasiga, yoki o`qiga ega bo`lgan figuralarning og`irlik markazlari shu tekislikda, yuzada, o`qda yotadi.
5.Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
Agar jism birnecha oddiy figuralarning birikmasidan iborat bo`lsa, u holda bu qattiq jismni bir necha oddiy figurali bo`laklarga ajratib yuboriladi. So`ngra har bir qismining og`irlik markazlarini koordinatalarini va ularning hajmlari yoki yuzalarini hisoblab chiqiladi, va yuqoridagi formulalardan birortasi orqali jismning umumiy og`irlik markazining koordinatalari xc, yc, zc - lar hisoblanadi.
1shakl
Masalan (shakl 1) shaklda berilgan figura, aslida murakkab yuzani tashkil etadi, lekin uni uchta oddiy yuzaga ajratish mumkin, yani uchburchak, to`g`ri to`rtburchak va yarim doiralarga ajratib yuboramiz.
Koordinata o`qlarini tanlab olib, har bir oddiy figuraning og`irlik markazlarini koordinatalarini va ularning yuzalarini aniqlaymiz, so`ngra bularni yuqoridagi 7 formulaga qo`yib, jismning umumiy og`irlik markazini hisoblab chiqaramiz.
Lekin shunday xollar bo`lishi mumkinki, qattiq jism oddiy figuralarga ajralmasligi mumkin. Bunday masalalarni echish uchun integrallash usulidan foydalanamiz.
Faraz qilaylik bizga biror qattiq jism berilgan bo`lib, u oddiy figuralarga ajralmasin, u holda bu qattiq jismni elementar hajmchalarga, yuzachalarga yoki uzunliklarga bo`lib yuboramiz. YAni V - ni o`rniga dv, S - ni o`rniga ds, L - ni o`rniga dL qo`yamiz.
Summani o`rniga integrall belgisi qo`yiladi, chunki elementar hajm, yuza va uzunliklarni faqat integrall yordamida qo`shiladi. SHunga ko`ra quyidagi uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. hajm uchun
(9)
yuza uchun,
(10)
uzunlik uchun,
(11)
6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
Do'stlaringiz bilan baham: |
