Reja: Monoton ketma-ketlik limiti e soni. Ikkinchi ajoyib limit Natural logarifmlar Monoton ketma-ketlik

Monoton ketma-ketlik limiti. e soni
Reja:


1. Monoton ketma-ketlik limiti.
2. e soni.
3. Ikkinchi ajoyib limit
4. Natural logarifmlar
Monoton ketma-ketlik.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy n uchun x_nn+1 (x_n x_n+1) tengsizlik o’rinli bo’lsa, (x_n) ketma-ketlik o’suvchi (kamaymovchi) deyiladi.
Bu ikki xil ketma-ketlik keng ma’noda o’suvchi deyiladi.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy n uchun x_n>x_n+1 (x_n x_n+1) tengsizlik o’rinli bo’lsa, (x_n) ketma-ketlik kamayuvchi (o’smovchi) deyiladi.
Bu ikki xil ketma-ketlik keng ma’noda kamayuvchi deyiladi.
Yuqoridagi to’rt xil ketma-ketlik bir so’z bilan monoton ketma-ketliklar deyiladi.
Teorema Agar (x_n) ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega; agar yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, u holda x_n =+ bo’ladi.
Isbot. (x_n) o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsin. U holda { x_n } to’plam ham yuqoridan chegaralangan bo’ladi, shuning uchun uning aniq yuqori chegarasi mavjud, uni a=sup{ x_n } deb olaylik, a ni (x_n) ketma-ketlikning limiti bo’lishligini ko’rsatamiz.
a son { x_n } to’plamning aniq yuqori chegarasi bo’lganidan barcha n lar uchun x_n a va har bir >0 uchun shunday n₀ mavjud bo’lib, >a- bo’ladi. (x_n) o’suvchi ketma-ketlik bo’lganligidan barcha n>n₀ lar uchun bo’ladi. Yuqoridagilardan a- < x_n tengsizlik kelib chiqadi. Bundan ta’rifga binoan x_n =a bo’ladi.
Endi (x_n) o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin, u holda har bir M>0 son uchun shunday n₀ son topilib, >M bo’ladi. (x_n) o’suvchi bo’lganligidan n>n₀ lar uchun x_n >M kelib chiqadi. Demak, x_n=+ .
Teorema Agar (x_n) ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega, agar quyidan chegaralanmagan bo’lsa, u holda x_n =- bo’ladi.
Bu teoremani yuqoridagi usulda isbotlash mumkin.
Misol.1. ketma-ketlikning limitini toping.

Bundan barcha n larda x_n > x_n+1 ekanligi kelib chiqadi. Bu ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini ko’rsatadi. Barcha x_n >0 ekanligidan (x_n)=( ) ketma-ketlikning chekli limitga ega ekanligini kelib chiqadi. Uni x_n =a bilan belgilasak, x_n+1= x_n dan a=a0 bo’lib, a=0 kelib chiqadi.
Demak, =0 ekan.
2. x_n= ketma-ketlikning limitini toping, bu yerda a>0.
Bu yerda bo’lib, barcha n larda x_nn+1, ya’ni (x_n) ketma-ketlik o’suvchi.
Endi matematik induktsiya yordamida (x_n) ketma-ketlikni yuqoridan chegaralangan ekanligini ko’rsatamiz.
Ravshanki, , n=k uchun deb faraz qilib, ekanligini ko’rsatamiz:
Demak, barcha n lar uchun . Yuqoridagi teoremalarga binoan (x_n) ketma-ketlik chekli limitga ega. Uni b desak, tenglikdan b= kelib chiqadi. Bundan esa b= kelib chiqadi. Shunday qilib, x_n = ekan.