Rеja matritsa. Matritsa ustida chizikli amallar

Misol: 3.
2 1 0 1 2 2_*1+1_*2+0_*2 2_*2+1_*1+0_*2 4 5 * 2 1 = =
3 1 1 2 2 3_*1+1_*2+1_*2 3_*2+1_*1+1_*2 7 9
4. а₁₁ а₁₂ х₁ а₁₁х₁+а₁₂х₂
а₂₁ а₂₂ х₂ = а₂₁х₁+а₂₂х₂
Kupaytirish natijasida xosil bulgan matritsa birinchi kupaytuvchi matritsaning satrlari nеcha bulsa, shuncha satrga va ikkinchi kupaytuvchi matritsa nеcha ustunga ega bulsa, shuncha ustunga ega buladi.

Misol: 5.
3 -1 1 1 3_*1+(-1)_*1 3_*1+(-1)_*1 0 2
АВ= -1 2 3 1 = -1_*1+2_*3 -1_*1+2_*1 = 5 1
Misol: 6.
1 1 3 -1 1_*3+1_*(-1) 1(-1)+ 1_*2 2 1
АВ= 3 1 -1 2 = 3_*3+1_*(-1) 3_*(-1)+1_*2 = 8 -1
Bu misollardan kurindiki, matritsalarni kupaytmasi urin almashtirish xossasiga ega emas.
АВ  ВА

Matritsalarni kupaytmasi taksimot konuniga buysunadi.

А(ВС) = (АВ)С
Matritsalarni kupaytmasi kushishga nisbatan tarkatish konuniga buysunadi.
(А+В)С = АС+ВС
Kvadrat tеnglamalar uchun kuyidagi matritsa aloxida axamiyatga ega
1 0 1 0 0
Е= 0 1 , Е= 0 1 0 , ...
0 0 1
Tеkshirish oson
АЕ = ЕА = А
Е —birlik matritsa dеb ataladi va !Е!=1
Agar A va V bir xil tartibli kvadrat matritsa bulishsa, u xolda С=АВ uchun kuyidagi tеnglik urinli
!С! = !А! !В!
Misol: 7.
3 -1 1 1
АВ= -1 2 В= 3 1
0 2
Oldin kurganimizdеkС=АВ= 5 1
3 -1 1 1
!А!= -1 2 = 6-1=5 !В!= 3 1 = 1-3=-2
0 2
!С! = 5 1 = 0-10 = -10
Xakikatan,

!С! =!А! !В! ya'ni -10 = 5 (-2)

Kuyidagi kizik xolatga aloxida axamiyat bеraylik. Sonlar nazariyasida nolga tеng bulmagan sonlarning kupaytmasi noldan farklidir. Matritsalarda esa shunday nol matritsaga tеng bulmagan ikki matritsaning kupaytmasi nol matritsani bеrishi mumkin:

1 1 1 1 0 0

АВ= 1 1 - 1 -1 = 0 0

Nxn ko’rinishdagi matritsa deb sonlarni tugun burchakli tablitsa ko’rinishiga aytladiki, bunda sonlar m qator va n usunlar shaklida yoziladi, aij -A matritsaning elementlari, aij-i-qatorning va j-ustunning kesishgan joyiga aytiladi.

Misol: А=

Matritsani yozish uchun quyidagi belgilardan foydalanish mumkin: A, [a_ij]

Matritsa mxn agar m=n bo’lsa kvadrat matritsa deyiladi, m=n bo’lmasa to’g’ri burchakli matritsa deyiladi.

Matritsa A^T berilgan A matritsaga nisbatan transponirlangan deyiladi, agar matritsa A elementlari a_ij matritsa AT elementlariga a_ij barcha i va j larda teng bo’lsa:

Agar А= , А^Т= .

Ikki bir xil razmerdagi A va V matritsalar teng hisoblanadi, ya'ni A=V agar ular elementlari teng bo’lsa ya'ni a_ij=b_ij

Matritsaning maxsus turlari. Barcha elementlari nolga teng matritsa nul matritsa deyiladi va O simvoli yoki (0) ko’rinishda belgilanadi.

Bosh diagnol elementlarigina nuldan farqli kvadrat matritsalar diagonal matritsalar deyiladi va quyidagicha tasvirlanadi.

С=
Ya'ni S=diag C=[b_ij c₁] . Bu yerda bij Kronekker belgisi.

Agar diagnol matritsaning barcha elementlari birga teng bo’lsa ya'ni c₁=1 unday matritsa birlik matritsa deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

Matritsa- qator yoki vektor -qator-bu razmeri 1 x m bo’lgan matritsa bo’lib bir qator va m ustundan iborat bo’ladi. qator

Matritsa-ustun yoki vektor-ustun -bu razmeri n x 1 bo’lgan matritsa bo’lib n qator va bir ustundan iborat bo’ladi.

a_ij=a_ji shart bajarilgan matritsalar simmetrik matritsalar deyiladi.

Matritsa ustida amallar

Qo’shish. Ikki A va V matritsalarning tsigindisi shunday holda aniqlanadilarki, bunda ikkala matritsa ham bir xil razmerga ega bo’ladilar. Yig’indi matritsaning elementlari ko’shilayotgan matritsalarning mos elementlarining Yig’indisi ko’rinishda aniqlanadilar ya'ni:

S=A+V: s_ij=a_ij+b_ij.

Yig’indini aniqlashda quyidagi xossalar kelib chiqadi:

1) A+V 2)A+(V+S)=(A+V)+S

A matritsaning k songa ko’paytmasi shunday matritsaki - k*A, u matritsaning elementlari quyidagi ko’rinishda aniqlanadi s_ij=k*a_ij

Matritsani songa ko’paytirish va qo’shish distributivdir:

k(A+V)=k*A+k*V, (k+1)*A=k*A+1*A.

va kommo’tativdir k*1*A=1*k*A.

Matritsalarni songa qo’shish va ko’paytirish amallari barcha qo’shish amaliga matritsalarni farqi tushunchasini kiritish imkonini beradi.

Barcha A qo’shish amaliga teskari amal –A va u quyidagicha aniqlanadi: A=(-1)A.

Ikki matritsa A va V orasidagi farq quyidagicha yoziladi: S=A-V.

Matritsalarni ko’paytirish. Ikki matritsa A va Ularning ko’paytmasi shunda va faqat shunda aniqlanadiki, bunda A matritsaning ustunlar soni V matritsaning katrolar soniga teng bo’ladi. Agar matritsa A ning razmeri m*p bo’lsa va matritsa V ning razmeri p*n bo’lsa, u holda matritsa S=A x V razmeri m*n ko’rinishda bo’ladi va uning elementlari sij quyidagi formuladan aniqlanadi:

,

va quyidagi q o i d a bo’yicha aniqlanadi: s_ij elementni olish uchun A matritsaning i qatori elementlarini mos ravishda V matritsa j ustun elementlariga ko’paytiriladi va hosil qilingan ko’paytmalar qushiladi.

Umumiy holda matritsalarni ko’paytirish kommo’tativ emas, ya'ni A*VV*A. yana shu yerda, agar A x V=V x A bo’lsa matritsalar A va V ko’paytuvchan deyiladi.

Isbotsiz ravishda matritsalarni ko’paytirish xossalarini keltiramiz:

1. A x 0=0 x A=0

   
   

2. A x YE=YE x A=A

   
   

3. (A+V)x S=A*S+V*S

   
   

4. A*(V+S)=A x V+A x S

   
   

5. (A*V)S=A(V x S)

   
   

6. (AT x VT )= VT*A

   
   

Berilgan kvadrat matritsaga teskari deb shunday matritsaga aytiladiki, bunda teskari matritsa xuddi berilgan matritsa bilan bir xil razmerda bo’ladi va quyidagi shartni kanoatlantiradi.:

A x A^-1=A^-1 x A=YE

Teskari matritsa A^-1 ko’rinishda bo’ladi. Barcha matritsalar ham teskari matritsa bulavermaydi. Teskari matritsaga ega bo’lish imkoniyati matritsaning harakteristikasi – aniqlovchi bilan harakterlanadi.