Reja: Maqsadlar, vazifalar, dars mazmuni

Tuzilishi
Ushbu turdagi algebra elementar qiymatlari 0 va 1 ga teng, ular mos ravishda FALSE va TRUE ga mos keladi. Mantiqiy algebradagi asosiy operatsiyalar 3 ta:
- VA operatsiya yoki birikma. Nuqta (.) Bilan ifodalanadi. Mahsulotning sinonimi.
- YOKI ishlash yoki ajratish. Xoch bilan ifodalangan (+). Jami sinonimi.
- Operatsiya yoki inkor EMAS. NOT (NOT A) prefiksi bilan ifodalanadi. Bundan tashqari, u to'ldiruvchi sifatida ham tanilgan.
Agar A to'plamda ichki tarkibning 2 qonuni hosila va yig'indiga (. +) Belgilangan bo'lsa, uchlik (A. +) mantiqiy algebra bo'lsa, agar aytilgan uchlik panjara bo'lish shartiga javob bersa, deyiladi. tarqatuvchi.
Distributiv panjarani aniqlash uchun tarqatish shartlari berilgan amallar orasida bajarilishi kerak:
. yig'indiga nisbatan taqsimlovchi hisoblanadi + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ u mahsulotga nisbatan tarqatuvchidir.a + (b. c) = (a + b). (a + c)
A to'plamini tashkil etuvchi elementlar ikkilik bo'lishi kerak, shuning uchun ularning qiymatlari bo'lishi kerak koinot yoki bo'shliq.
Nazorat uchun savollar

1. 
   Mantiq algebra nima?
   
2. 
   Mantiq algebrasi funksiyalarini nsanab bering ?
   
3. 
   Mantiq algebrasi tuzilishini tushuntiring?
   
4. 
   Mantiq algebrasi funktsiyalari ishiga so‘z bilan; haqiqiylik jadvali yordamida; algebraik ifodalar yordamida misollar keltiring.
   

7-mavzu: Mantiqiy ifodalar tushunchasi

Reja:

1. 
   Mantiqiy ifodalar haqida
   
2. 
   Mantiqiy rostlik jadvali
   
3. 
   Mantiqiy amallarni soddalashtirish
   

Mantiqiy amallar, mantiqiy operatsiyalar — berilgan hadlari va natijasi mulohaza (fikr) dan iborat amallar. Berilgan hadlar soniga qarab Mantiqiy amallar bir oʻrinli, ikki oʻrinli va h.k. deb yuritiladi. Bir oʻrinli Mantiqiy amallar soni toʻrtta: berilgan fikrdan qatʼi nazar natijasi doim chin (aynan haqiqat) amal, natijasi doim yolgʻon (aynan yolgʻon) amal, natijasi berilgan fikr bilan mos tushadigan amal va, nihoyat, berilgan fikr chin boʻlsa, natijasi yolgʻon, berilgan fikr yolgʻon boʻlsa, natijasi chin boʻladigan amal. Soʻnggi mantiqiy amal bir oʻrinli Mantiqiy amallardan eng muhimi boʻlib, u inkor amal deyiladi. A fikrning inkori ~hA kabi belgilanib, "A emas" deb oʻqiladi. Mas, 1 Oy sayyora — "Oy sayyora emas", (] 2*2=4) — ikki karra ikki toʻrt emas.
Ikkilik kodda yozilgan mashina soʻzlari ustida Mantiqiy amallar mos razryadlar boʻyicha bajarilib, i oʻrniga 1, l oʻrniga 0 olinadi, matn shakliga aylantiriladi va maʼlumot koʻrinishida chiqish qurilmasiga beriladi. Mantiq-informatsion mashina tez ishlashi, "xotira" hajmining kattaligi bilan oddiy hisoblash mashinalaridan farq qiladi. Mantiq-informatsion mashina i. t. natijalarini ishlash, adabiyot topishni avtomatlashtirish, sanoat, qishloq xoʻjaligi va transportga oid statistik maʼlumotlarni, davolash muassasalarida bemorlarni kuzatishdan olingan natijalarni, meteorologik, seysmologik stansiyalardan, Yer sunʼiy yoʻldoshlaridan olingan maʼlumotni ishlash va tarjima ishlarida qoʻllaniladi.^[1]
Protsessor tarkibidagi arifmetik-mantiqiy qurilmaning ishlash prinsipini tushunish uchun avval insonning mantiqiy fikrlash va xulosa chiqarish usullarini ko’rib chiqamiz.
Insonlar kundalik hayotda o’zaro muloqot qilish uchun turli mulohazalardan foydalanishadi. Ma’lumki, mulohaza – narsa yoki hodisalarning xususiyatini anglatuvchi darak gapdir. Boshqacha aytganda, mulohaza – rost yoki yolg’onligi haqida so’z yuritish mumkin bo’lgan darak gap.
Mulohazalar sodda va murakkab boʻlishi mumkin. Biror shart yoki usul bilan bogʻlanmagan hamda faqat bir holatni ifo­dalovchi mulohazalar sodda mulohazalar deyiladi. Sodda mulohazalar ustida amallar bajarib, murakkab mulohazalarni hosil qilish mumkin. Odatda murakkab mulohazalar sodda mulohazalardan “VA”, “YОKI” kabi bogʻlovchilar, “EMAS” shaklidagi koʻmakchilar yordamida tuziladi.
Mulohazalarni lotin alifbosi harflari bilan belgilash (masalan, A= “Bugun havo issiq”) qabul qilingan. Har bir mulohaza faqat ikkita: “rost” yoki “yolgʻon” mantiqiy qiymatga ega boʻlishi mumkin. Qulaylik uchun “rost” qiymatni 1 raqami bilan, “yolgʻon” qiymatni esa 0 raqami bilan belgilab olamiz.
A va B sodda mulohazalar bir paytda rost boʻlgandagina rost boʻladigan yangi (murakkab) mulohazani hosil qilish amali mantiqiy koʻpaytirish amali deb ataladi.
Bu amalni konyunksiya (lotincha: conjunctio– bog’layman) deb ham atashadi. Mantiqiy koʻpaytirish amali ikki yoki undan ortiq sodda mulohazalarni “VA” bogʻlovchisi bilan bogʻlaydi hamda “A va B” , “A and B” , “A Λ B” , “A · B” kabi koʻrinishda yoziladi. Mantiqiy koʻpaytirishni ifodalaydigan quyidagi jadval rostlik jadvali deb ataladi:

A	B	A Λ B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

A va B mulohazalarning kamida bittasi rost boʻlganda rost boʻladigan yangi murakkab mulohazani hosil qilish amali mantiqiy qoʻshish amali deb ataladi.
Bu amalni dizyunksiya (lotincha: disjunctio – ajrataman) deb ham atashadi Mantiqiy qoʻshish amali ikki yoki undan ortiq sodda mulohazalarni “YOKI” bogʻlovchisi bilan bogʻlaydi hamda va “A yoki B”, “A or B” , “A V B”, “A + B” kabi koʻrinishlarda yoziladi.
Mantiqiy qoʻshish amalining rostlik jadvali quyidagicha:

A	B	A V B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

A mulohaza rost boʻlganda yolgʻon, yolgʻon boʻlganda esa rost qiymat oladigan mulohaza hosil qilish amali mantiqiy inkor amali deb ataladi.
Bu amalni inversiya (lotincha: Inversio – to’ntaraman) deb ham atashadi Mantiqiy inkor amali “A EMAS” , “not A” , “ ᒣ A” , “” koʻrinishlarda yoziladi. Mantiqiy inkor amalining rostlik jadvali quyidagicha:

A	ᒣ A
1	0
0	1

Koʻrinib turibdiki, mantiqiy oʻzgaruvchilar, munosabat­lar, mantiqiy amallar va qavslar yordamida mantiqiy ifodalar hosil qilish mumkin ekan.
Mantiqiy ifodalarda mantiqiy amallar quyidagi tartibda bajariladi: inkor ( ù ), mantiqiy koʻpaytirish ( Ù ), mantiqiy qoʻshish ( Ú ).
Teng kuchli yoki bir xil amallar ketma-ketligi bajarilayotganda amallar chapdan oʻngga qarab tartib bilan bajariladi, ifodada qavslar ishtirok etganda dastlab qavslar ichidagi amallar bajariladi. Ichma-ich joylashgan qavslarda eng ichkaridagi qavs ichidagi amallar eng avval bajariladi.
Mantiqiy amallarga misollar keltiramiz.
1–misol. A mulohaza rost qiymat qabul qilsa, “A va (A EMAS)” mulohazaning qiymatini aniqlang.
Yechish. A rost qiymat qabul qilganligi uchun (A EMAS) yolgʻon qiymatga ega boʻladi. U holda rost va yolgʻon qiymatlarning koʻpaytmasidan (“VA” amali) yolgʻon natijaga ega boʻlamiz. Shunday qilib, javob “yolgʻon” ekan.
2–misol. A va B mulohazalar rost qiymat qabul qilganda A Λ B V A mulohazaning qiymatini aniqlang.
Yechish. I usul. A va B mulohazalar rost qiymatli boʻlganligi uchun A Ù B amal rost qiymat qabul qiladi. U holda jadvalga koʻra ikkita rost qiymatni mantiqiy qoʻshishdan rost qiymat hosil boʻladi. Javob: rost.
II usul. 1 · 1 + 1 = 1 + 1 = 1. Javob: rost.
3–misol. (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifodaning qiymatini D = 3,2 va E = –2,4, A = “rost” va B = “rost” bo’lganda hisoblang.
Yechish. I usul. (–2,4 >3,2) munosabat notoʻgʻri boʻlganligidan bu mulohaza “yolgʻon” boʻladi. Demak, A mulohazaning qiymati “rost” bo’lsa ham (Е > D) Λ A mulohaza qiymati “yolgʻon” bo’ladi. B mulohazaning qiymati “rost”, shuning uchun ᒣB mulohaza “yolgʻon” qiymatli boʻladi. U holda (Е > D) Λ A Λ ᒣB mantiqiy ifoda “yolgʻon” qiymat qabul qiladi. Javob: yolgʻon.
II usul. (–2,4 > 3,2) · 1 · 0 = 0 · 0 = 0. Javob: yolgʻon.
4-masala. D V ᒣB Λ A mantiqiy ifodaga mos rostlik jadvalini tuzing.
Yechish. Avval jadvalning birinchi uch ustuniga A, B, D mulohazaning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini yozib olamiz (7-sinfdagi ovoz berish natijalari jadvalini eslang). So’ng bajarilish tartibiga asosan amallarni yozib boramiz:

A	B	D	ᒣ B	ᒣ B Λ A	D V ᒣB Λ A
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0

Mantiqiy amallar mantiq ilmida ham algoritmik tafakkurni rivojlantirishda ham juda katta ahamiyatga ega. Masalan, quyidagi masalani qaraylik.
5-masala. Bir kishi aytdi “Men yolg’onchiman yoki qora sochliman”. U kishi kimligini aniqlang.
Yechish. Masala shartidagi mulohazalar uchun belgilashlar kiritamiz:
D= “Men yolg’onchiman yoki qora sochliman”;
A= “Men yolg’onchiman”; B= “Qora sochliman”
U holda masala shartidagi murakkab mulohazani shunday yoza olamiz: D=A YOKI B. Bu amal uchun rostlik jadvali quyidagicha ko’rinishda bo’ladi:

A	B	D=A YOKI B
rost	rost	rost
rost	yolg’on	rost
yolg’on	rost	rost
yolg’on	yolg’on	yolg’on

Endi masala yechimini topish uchun quyidagicha mulohaza yuritamiz:
a) agar A mulohaza “rost” bo’lsa, u holda masala shartidagi mulohazani aytgan kishi yolg’onchi bo’ladi va shuning uchun uning hamma gapi yolg’on. Demak, D mulohaza “yolg’on” bo’lishi kerak. Lekin jadvaldan ko’rinadiki, A mulohaza “rost” bo’lganda D mulohaza “yolg’on” bo’la olmaydi.
b) agar A mulohaza “yolg’on” bo’lsa, u holda masala shartidagi mulohazani aytgan kishi rostgo’y bo’ladi va, tabiiyki, uning hamma gapi rost. Demak, D mulohaza “rost” bo’lishi kerak. Jadvaldan ko’rinadiki, bunday hol faqat A mulohaza “yolg’on” va B mulohaza “rost” bo’lsagina o’rinli.
Javob: masala shartidagi da’voni aytgan kishi rostgo’y va qora sochli ekan.
Nazorat uchun savollar

1. 
   Mantiqiy ifodalar qanday hosil qilinadi?
   
2. 
   Mantiqiy qo‘shish amali va uning rostlik jadvali haqida so‘zlab bering.
   
3. 
   Mantiqiy ko‘paytirish amali va uning rostlik jadvali haqida so‘zlab bering.
   
4. 
   Mantiqiy ifodaning rostlik jadvalini tuzishda nimalarga e’tibor berish kerak?
   
5. 
   Quyidagi mulohazalarni mantiqiy ifoda ko‘rinishida yozing: “O‘quvchilar fizika darsida laboratoriya ishini bajarishdi va tajriba natijalarini o‘qituvchiga yetkazishdi”.
   

8-Mavzu: Mantiq algebrasini soddalashtirish

Reja:

1. 
   Mantiq algebrasi funksiyasi
   
2. 
   Mantiqiy funksiyalar
   
3. 
   Mantiqiy algebraning asosiy ifodalanish usullari
   

Raqamli sxemalarda turli mantiqiy funktsiyalarni amalga oshirish uchun
minimal element bazis (yoki baza) deb ataluvchi mantiqiy elementlar
majmuasiga ega bo‘lish yetarli hisoblanadi.
Minimal element bazislar:
-biri HAM, ikkinchisi esa – EMAS amalini bajaruvchi ikki turdagi mantiqiy elementlar majmui;
-biri YOKI, ikkinchisi esa – EMAS amalini bajaruvchi ikki turdagi mantiqiy elementlar majmui;
-YOKI-EMAS (EMAS-YOKI) amalini bajaruvchi Pirs mantiqiy elementlari majmui;
-HAM-EMAS amalini bajaruvchi Sheffer mantiqiy elementlari majmui.

Amalda elementlar va boshqalar nomenklaturasini qisqartirish maqsadida

HAM-EMAS yoki YOKI-EMAS amallarni bajaruvchi element bazasidan
foydalaniladi. Lekin, faqat minimal bazis elementlaridan foydalangan holda
raqamli tizimni shakllantirish qurilmaning murakkablashib ketishiga olib keladi.
U holda tizim parametrlarini yaxshilash maqsadida, HAM-EMAS yoki
YOKI-EMAS minimal bazis elementlaridan tashqari, HAM-YOKI-EMAS,
HAM, YOKI, istisnoli YOKI va boshqa amallarni bajaruvchi sxemalar ham
qo‘llaniladi.
Minimal element bazisi mantiqiy elementlarning funktsional to‘liq tizimi
hisoblanadi. Ya’ni, minimal bazis mantiqiy elementlari majmui ixtiyoriy
murakkablikdagi mantiqiy sxemani shakllantirishga imkon beradi.
Misol tariqasida, YOKI-EMAS elementi yordamida (3.1-rasm) va faqat
HAM-EMAS elementlari yordamida (3.2-rasm) HAM, YOKI va EMAS
amallari qanday bajarilishini ko‘rib chiqamiz.
Murakkab mantiqiy qurilmalar sintezini boshlashdan avval, quyidagi
amallar ketma-ketligini bajarish zarur:
- mazkur tugun (blok) bajarishi kerak bo‘lgan berilgan murakkab
mantiqiy funktsiyani minimallash;
- element baza tanlash;
-minimallashgan mantiqiy funktsiyani tanlangan bazaga ko‘ra o‘zgartirish;
- elektr sxemani sintezlash.
O‘zgaruvchi kattaliklar orasidagi u=f(x) bog‘liqlik yoki funktsiya turli
shaklda ifodalanishi mumkin.
Raqamli qurilmalarning ishlash algoritmi matematik mantiq yordamida
ifodalanadi. Shu sababli qurilmalar mantiqiy qurilmalar sinfiga ta’lluqli.
Mantiqiy qurilmalarda chiqishdagi o‘zgaruvchilar (funktsiya) ui ning kirishdagi
o‘zgaruvchilar majmuasi xn-1…x2x1 orqali, mantiq algebrasi yordamida
ifodalanishi mantiq algebrasi funktsiyasi (MAF) deb ataladi. Raqamli
qurilmalarda qayta ulanuvchi elementlar (“ochiq” xolatidan “berk” holatiga
o‘tuvchi va aksincha) qo‘llanilgani sababli mantiq algebra funktsiyasini yana
qayta ulanuvchi funktsiya deb ham atashadi.

Nazorat savollari

1 Mantiqiy algebra funktsiyasi (MAF)ga ta’rif bering.
2 MAFning asosiy ifodalanish usullarini keltiring.
3 Diz’yunktiv normal shakl(DNSH)ga ta’rif bering.
4 Kon’yunktiv normal shakl(KNSH)ga ta’rif bering.

9-Mavzu: Mantiq algebrasini qonunlari. De Morgan qonuni

Reja:

1. 
   Mantiq algebrasi qonunlari
   
2. 
   Bul algebrasini asosiy qonuni
   
3. 
   De-Morgan qonuni
   

Raqamli texnikada ikkita holatga ega bo‘lgan, nol va bir yoki «rost» va

«yolg‘on» so‘zlari bilan ifodalanadigan sxemalar qo‘llaniladi. Biror sonlarni
qayta ishlash yoki eslab qolish talab qilinsa, ular bir va nollarning ma’lum
kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalanadi. U holda raqamli qurilmalar ishini
ta’riflash uchun maxsus matematik apparat lozim bo‘ladi. Bunday matematik
apparat Bul algebrasi yoki Bul mantiqi deb ataladi. Uni irland olimi D. Bul
ishlab chiqqan.
Mantiq algebrasi «rost» va «yolg‘on» – ko‘rinishdagi ikkita mantiq bilan
ishlaydi. Bu shart «uchinchisi bo‘lishi mumkin emas» qonuni deb ataladi. Ushbu
tushunchalarni ikkilik sanoq tizimidagi raqamlar bilan bog‘lash uchun «rost»
ifodani 1 (mantiqiy bir) belgisi bilan, «yolg‘on» ifodani 0 (mantiqiy nol)
belgisi bilan belgilab olamiz. Ular Bul algebrasi konstantalari deb ataladi.
Mantiq algebra 1854 yilda o'sha davrning o'zini o'zi o'rgangan olimi bo'lgan ingliz matematikasi Jorj Buol (1815 - 1864) tomonidan kiritilgan. Uning xavotiri bu mantiqiy tizimni belgilaydigan parametrlar to'g'risida Avgust De Morgan va Uilyam Xemilton o'rtasidagi mavjud tortishuvlardan kelib chiqqan.