Reja: Ko’chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati

Deformatsiya chiziqlimas tenzori.

F araz qilaylik, jism umumiy deformatsiyalangan (bir jinsli emas) bo‘lsin. Bunda uning boshlang‘ich holatida orasidagi masofasi bo‘lgan ikki va nuqtasi deformatsiyalangan holatidagi va nuqtalariga ko‘chadi. Natijada va nuqtalar bilan chegaralangan chiziqli element va nuqtalar bilan chegaralangan chiziqli elementga almashadi.
_Element ning proyeksiyalari vekto-rining komponentalariga va elemening proyeksialari vektorining komponentalariga teng. U holda
(5)
xuddi shunday

yoki
(6)
keltirilgan formulalarda va 2-chizmada vektorlarning orttirmalari kichik bo‘lganligidan ularning to‘liq differensiali bilan almashtirilgandir, ya’ni
; ; .
Vektor ning komponentalari ( - N nuqtaning M nuqtaga nisbatan ko‘chish vektor) quyidagicha topiladi:
(7)
demak,

U holda


yoki
(8)
Oxirgi (8) ifodaning chap tomoni skalyar miqdor. Shunga ko‘ra tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda (ortonormal bazisdagi 3^k ta sonlar majmuasining rangi k ga teng tenzor ekanligi uchun) ikkinchi rang tenzordir. Bunda hamda bo‘lganliklari uchun - simmetrik bo‘lmagan, esa simmetrik tenzorlardir. Yuqoridagi (7) formulaga asosan tenzorning komponentalari nisbiy ko‘chish vektori ning komponentalarini aniqlaydi. Shuning uchun bu tenzor nisbiy ko‘chish tenzori deyiladi. Ushbu tenzorni simmetrik va antisimmetrik tenzorlarga ajratamiz

bundan
(9)
Chunki ixtiyoriy tenzori uchun kvadratik shakl ikkinchi qo‘shiluvchida va lar gung indekslar bo‘lganliklari uchun ni ga, ni esa ga almashtirishga haqqimiz borligidan foydalanamiz) ya‘ni kvadratik shakl, tenzorini uning simmetrik tuzuvchisi bilan almashtirilganda o‘zgarmaydi.
Endi (9) ni (8) ga qo‘yamiz

yoki
(10)
Bu yerda
(11)
Komponentalari (11) formulalar bilan aniqlanuvchi tenzori-ikkinchi rang simmetrik tenzordir. Ko‘chish vektori ning komponentalaridan olingan hosilardan larning bog‘lanishi chiziqli emas. Shuning uchun deformatsiyaning chiziqlimas tenzori deyiladi. Ushbu tenzorning o‘zaro bog‘lanmagan olti komponentasini (11) ga asosan quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi:
;
;
; (12)
;
;
;
Deformatsiyalarning chiziqlimas tenzorining matrisasi quyidagi
(13)
matrisasidan iborat.
Deformatsiya chiziqlimas tenzori, ikkinchi rang tenzor sifatida, xuddi kuchlanish tenzori kabi, koordinat o‘qlarini burishda
(14)
qonun bo‘yicha almashtiriladilar. Bu yerda -yangi va eshi o’qlari orasidagi, - va o’qlari orasidagi burchaklar kosinuslari.
Koordinat o‘qlarini ixtiyoriy burish mumkin bo‘lganligi sababli (14) formulalar jismning berilgan nuqtasiga chiquvchi istalgan o‘zaro perpendikulyar va yo’nalishlar bo‘yicha va larni aniqlashga imkon beradi:
;
(15)

.
Demak, agar hamma koordinat tekisliklaridagi lar aniqlangan bo‘lsalar istalgan normali va urinma bo‘lgan maydoncha nuqtasidagi normal va urinma yo‘nalishlaridagi deformatsiyalarini va demak, ko‘chishlarini ham aniqlay olamiz.