Reja: Kirish Fanga kirish. Dastlabki tushunchalar. Ehtimollik. Ehtimolning turli ta’riflari. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining iqtisodiy jarayonlarni o’rganishdagi ahamiyati

Mavzu: Hodisalar to’la guruhi. To’la ehtimol va Bayes formulalari.
Reja:
Kirish
1. Fanga kirish. Dastlabki tushunchalar.Ehtimollik.Ehtimolning turli ta’riflari. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining iqtisodiy jarayonlarni o’rganishdagi ahamiyati.
2.Hodisalar ustida amallar. Shartli ehtimollik. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari.
3. To’la ehtimol va Bayes formulalari.
4. Erkli sinovlar ketma-ketligi. Bernulli formulasi.Eng ehtimolli son.
Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.

1-Fanga kirish.Dastlabki tushunchalar.Ehtimollik.Ehtimolning turli ta’riflari. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining iqtisodiy

jarayonlarni o’rganishdagi ahamiyati.

Ehtimollar nazariyasi fanining dastlabki tushunchalari shakllangan davr XVI- XVII asrlar bo’lib, Kardano, Gyuygens, Paskal, Ferma va Yakov Bernulli kabi olimlarning nomlari bilan bog’liqdir. Ehtimollar nazariyasining paydo bo’lishiga qimor o’yinlarining matematik modellarini va nazariyasini yaratish yo’lidagi izlanishlar turtki bo’ldi.

Ehtimollar nazariyasining keyingi yutuqlari Muavr, Laplas, Puasson kabi olimlarning nomlari bilan bog’liq.
Ehtimollar nazariyasining yangi samarali rivoji Chebishev, Markov,Lyapunov kabi rus olimlarining ilmiy izlanishlari bilan bog’liq bo’ldi. Fanning mustaqil fan bo’lib uyg’unlashishida va keyingi rivojida Bernshteyn, Romanovskiy, Kolmogorov, Xinchin, Gnedenko, Smirnov va boshqalarning xizmatlari katta bo’ldi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanining rivojida S. X. Sirojiddinov, T. A. Sarimsoqov kabi zabardast o’zbek olimlarining ham munosib hissalari bor. Hozirgi kunda bu ikki olimning shogirdlari tomonidan O’zbekistonda ham ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani bo’yichaham nazariy, ham amaliy tadqiqotlar davom ettirilmoqda.
Ehtimollar nazariyasining dastlabki tushunchalari – tajriba, hodisa,elementar hodisa,ehtimollik,nisbiy chastota kabi tushunchalar bo’lib,ularni bayon qilishga o’tamiz.
Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga ega. Fanning bu sohasiga asos solgan buyuk matematiklar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman.
Keyinchalik, ehtimollar nazariyasining rivojlanishi ko'plab olimlarning ishlarida aniqlandi.
Mamlakatimiz olimlari ehtimollar nazariyasiga katta hissa qo'shgan:
P.L.Chebishev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorov. Ehtimoliy va statistik usullar endi ilovalarga chuqur kiritilgan. Ular fizika, muhandislik, iqtisodiyot, biologiya va tibbiyotda qo'llaniladi. Ayniqsa, kompyuter texnikasining rivojlanishi munosabati bilan ularning roli ortdi.

Masalan, fizik hodisalarni o'rganish uchun kuzatishlar yoki tajribalar o'tkaziladi. Ularning natijalari odatda ba'zi kuzatilgan miqdorlarning qiymatlari sifatida qayd etiladi. Tajribalarni takrorlashda biz ularning natijalarida tarqoqlikni topamiz. Misol uchun, ma'lum sharoitlarni (harorat, namlik va boshqalar) saqlagan holda bir xil miqdordagi o'lchovlarni bir xil qurilma bilan takrorlash orqali biz kamida bir oz farq qiladigan, ammo baribir bir-biridan farq qiladigan natijalarga erishamiz. Hatto bir nechta o'lchovlar ham keyingi o'lchov natijasini aniq taxmin qilish imkonini bermaydi. Shu ma'noda o'lchov natijasi tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchining yanada aniq misoli - yutuqli lotereya chiptasining raqami. Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa ko'plab misollarini keltirish mumkin. Shunga qaramay, baxtsiz hodisalar dunyosida ma'lum naqshlar topiladi. Bunday qonuniyatlarni o'rganishning matematik apparati ehtimollar nazariyasi bilan ta'minlangan.

Shunday qilib, ehtimollik nazariyasi tasodifiy hodisalar va ular bilan bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik tahlili bilan shug'ullanadi.
1. Umumiy ehtimollik formulasi.
Bir guruh tadbirlar bo'lsin H 1 ,H 2 ,..., H n, u quyidagi xususiyatlarga ega:
1) barcha hodisalar juftlik bilan mos kelmaydi: H i
Hj =Æ; i , j =1,2,...,n ; i ¹ j ;
2) ularning birlashuvi W elementar natijalar makonini tashkil qiladi: Bunday holda, biz buni aytamiz H 1 , H 2 ,...,H n shakl voqealarning to'liq guruhi. Bunday hodisalar ba'zan deyiladi farazlar .
Bo'lsin LEKIN- ba'zi voqea: LEKINÌW (8-rasmda ko'rsatilgan Venn diagrammasi). Keyin bor umumiy ehtimollik formulasi:
P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /H n)P (H n) =
Isbot. Shubhasiz: A= va barcha hodisalar ( i = 1,2,...,n) juftlik mos kelmaydigan. Bu yerdan, ehtimolliklarni qo'shish teoremasi bo'yicha, biz olamiz
P (A) = P ( ) + P () +...+ P ( Buni ko'paytirish teoremasi bilan hisobga olsak P ( ) = P (A/H i) P (H i)( i = 1,2,...,n), keyin oxirgi formuladan umumiy ehtimollik uchun yuqoridagi formulani olish oson.
Misol. Do'konda uchta zavod tomonidan ishlab chiqarilgan elektr lampalar sotiladi, birinchi zavodning ulushi - 30%, ikkinchisi - 50%, uchinchisi - 20%. Ularning mahsulotlarida nikoh mos ravishda 5%, 3% va 2% ni tashkil qiladi. Do'konda tasodifiy tanlangan chiroqning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?Tadbirga ruxsat bering H 1 - tanlangan chiroq birinchi zavodda ishlab chiqariladi, H ikkinchisida 2 H 3 - uchinchi zavodda. Shubhasiz:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Tadbirga ruxsat bering LEKIN tanlangan chiroq nuqsonli bo'lib chiqqanligidan iborat; A/H i da ishlab chiqarilgan lampalardan nuqsonli chiroq tanlanishidan iborat hodisani bildiradi i th zavod. Muammoning holatidan kelib chiqadi:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra, biz olamiz
2. Bayes formulasi (Bayes)
Bo'lsin H 1 ,H 2 ,...,H n- hodisalarning to'liq guruhi va LEKINÌ W - bu qandaydir hodisa. Keyin shartli ehtimollik formulasiga muvofiq.
Bu yerda P (H k /A) hodisaning shartli ehtimoli (gipoteza) H k yoki ehtimollik H k hodisa sharti bilan amalga oshiriladi LEKIN sodir bo'ldi.Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra, (1) formulaning numeratori quyidagicha ifodalanishi mumkin.
P = P = P (A /H k)P (H k)
(1) formulaning maxrajini ifodalash uchun umumiy ehtimollik formulasidan foydalanish mumkin.
Bayes formulasi bo'yicha gipotezani amalga oshirish ehtimoli hisoblanadi H k hodisa sharti bilan LEKIN sodir bo'ldi. Bayes formulasi ham deyiladi gipotezaning ehtimollik formulasi. Ehtimollik P (H k) gipotezaning oldingi ehtimolligi deyiladi H k, va ehtimollik P (H k /A) posterior ehtimollikdir. Teorema. Sinovdan so'ng gipoteza ehtimoli sinovdan oldin gipoteza ehtimolini sinov paytida sodir bo'lgan hodisaning tegishli shartli ehtimoli bilan ushbu hodisaning umumiy ehtimoliga bo'lingan mahsulotiga teng.Misol. Elektr lampalar haqida yuqoridagi muammoni ko'rib chiqing, faqat muammoning savolini o'zgartiring. Xaridorga ushbu do'konda elektr chiroq sotib olishiga ruxsat bering va u nuqsonli bo'lib chiqdi. Ushbu lampaning ikkinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping. Qiymat P (H 2) = 0,5 bu holda, bu sotib olingan chiroq ikkinchi zavodda ishlab chiqarilgan hodisaning apriori ehtimoli. Xarid qilingan chiroqning nuqsonli ekanligi haqida ma'lumot olganimizdan so'ng, biz ushbu hodisaning orqa ehtimolini hisoblash orqali ushbu chiroqni ikkinchi zavodda ishlab chiqarish imkoniyati haqidagi taxminimizni to'g'rilashimiz mumkin.

Bayes kim? Va bu boshqaruvga qanday aloqasi bor? – keyin juda adolatli savol kelishi mumkin. Hozircha mening so'zimni qabul qiling: bu juda muhim! .. va qiziqarli (hech bo'lmaganda men uchun).

Aksariyat menejerlar qanday paradigmada ishlaydi: agar men biror narsani kuzatsam, undan qanday xulosalar chiqarishim mumkin? Bayes nimani o'rgatadi: men buni kuzatishim uchun aslida nima bo'lishi kerak? Hamma fanlar mana shunday rivojlanadi va u bu haqda yozadi (xotiradan iqtibos keltiraman): kallasida nazariya bo‘lmagan odam turli hodisalar (kuzatishlar) ta’sirida bir g‘oyadan boshqa fikrga o‘tadi. Ular bejiz aytishmaydi: yaxshi nazariyadan ko'ra amaliyroq narsa yo'q.

Amaliyotdan misol. Mening qo'l ostidagi xodimim xatoga yo'l qo'ydi va mening hamkasbim (boshqa bo'lim boshlig'i) beparvo xodimga boshqaruv ta'sirini o'tkazish kerakligini aytadi (boshqacha aytganda, jazolash / ta'na qilish). Va men bilamanki, bu xodim oyiga 4-5 mingta bir xil turdagi operatsiyalarni bajaradi va bu vaqt ichida u 10 dan ortiq xato qilmaydi. Paradigmadagi farqni his qilyapsizmi? Mening hamkasbim kuzatishga munosabat bildiradi va men aprior bilimga egamanki, xodim ma'lum miqdordagi xatolarga yo'l qo'yadi, shunda yana bittasi bu bilimga ta'sir qilmadi ... Endi, agar oyning oxirida u borligi aniqlansa, masalan, 15 ta shunday xato! .. Bu allaqachon standartlarga rioya qilmaslik sabablarini tekshirish uchun sabab bo'ladi.

Bayes yondashuvining muhimligiga ishonchingiz komilmi? Qiziqmisiz? Shunday deb umid qilaman". Va endi malhamda chivin. Afsuski, Bayes g'oyalari birinchi marta kamdan-kam hollarda beriladi. Ochig'i, men bu g'oyalar bilan mashhur adabiyotlar orqali tanishganim uchun omadim yo'q edi, o'qiganimdan keyin ko'plab savollar qoldi. Eslatma yozishni rejalashtirayotganda, men Bayesga ko'ra ilgari aytib o'tgan narsalarimni to'pladim, shuningdek, ular Internetda yozganlarini o'rgandim. Men sizga mavzu bo'yicha eng yaxshi taxminimni taqdim etaman. Bayes ehtimolligiga kirish.
Bayes teoremasining kelib chiqishi.
Quyidagi tajribani ko'rib chiqing: biz segmentda yotadigan har qanday raqamni nomlaymiz va bu raqam, masalan, 0,1 va 0,4 oralig'ida bo'lganda tuzatamiz (1a-rasm). Ushbu hodisaning ehtimoli segmentda raqamlarning paydo bo'lishi sharti bilan segment uzunligining segmentning umumiy uzunligiga nisbatiga tengdir. teng ehtimolli. Matematik jihatdan buni yozish mumkin p(0,1 <= x <= 0,4) = 0,3, или кратко R(X) = 0,3, bu erda R- ehtimollik, X diapazondagi tasodifiy o'zgaruvchidir, X oralig'idagi tasodifiy o'zgaruvchidir. Ya'ni, segmentni urish ehtimoli 30% ni tashkil qiladi.
Guruch. 1. Ehtimollarning grafik talqini

Endi x kvadratini ko'rib chiqing (1b-rasm). Aytaylik, biz juft raqamlarni nomlashimiz kerak ( x, y), ularning har biri noldan katta va bittadan kichik. Buning ehtimoli x(birinchi raqam) segment ichida bo'ladi (ko'k maydon 1), ko'k maydon maydonining butun kvadrat maydoniga nisbati, ya'ni (0,4 - 0,1) ) * (1 - 0) / (1 * 1) = 0, 3, ya'ni bir xil 30%. Buning ehtimoli y segment ichida (yashil maydon 2) yashil maydon maydonining butun kvadrat maydoniga nisbatiga teng. p(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко R(Y) = 0,2.

Bir vaqtning o'zida qadriyatlar haqida nimani o'rganish mumkin x va y. Masalan, ikkalasining ham ehtimoli qanday x va y tegishli berilgan segmentlarda bormi? Buni amalga oshirish uchun siz 3-domen maydonining (yashil va ko'k chiziqlar kesishmasi) butun kvadrat maydoniga nisbatini hisoblashingiz kerak: p(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

Endi biz bu ehtimollik nima ekanligini bilmoqchimiz deylik y agar intervalda bo'ladi x allaqachon diapazonda. Ya'ni, aslida bizda filtr bor va biz juftlarni chaqirganimizda ( x, y), keyin topish shartiga javob bermaydigan juftlarni darhol o'chirib tashlaymiz x ma'lum bir oraliqda, so'ngra filtrlangan juftliklardan biz qaysilari uchun hisoblaymiz y shartimizni qanoatlantiradi va ehtimollikni qaysi juftliklar sonining nisbati sifatida ko'rib chiqing y filtrlangan juftlarning umumiy soniga yuqoridagi segmentda yotadi (ya'ni, buning uchun x segmentida joylashgan). Bu ehtimolni quyidagicha yozishimiz mumkin p(Y|X da X diapazonda urish." Shubhasiz, bu ehtimollik 3-maydonning ko'k maydon maydoniga nisbati 1-ga teng. 3-maydonning maydoni (0,4 - 0,1) * (0,7 - 0,5) = 0,06 va ko'k maydonning maydoni 1 ( 0,4 - 0,1) * (1 - 0) = 0,3, keyin ularning nisbati 0,06 / 0,3 = 0,2. Boshqacha qilib aytganda, topish ehtimoli y segmentida, bu sharti bilan x segmentiga tegishli p(Y|X) = 0,2.

Oldingi paragrafda biz aslida shaxsni shakllantirdik: p(Y|X) = p(X, Y) /p( X). Unda shunday deyilgan: "urilish ehtimoli da diapazonda, bu shart X diapazondagi zarba bir vaqtning o'zida urish ehtimoli nisbatiga teng X diapazonda va da diapazonda, urish ehtimoligacha X diapazonga kiradi."
Analogiya bo'yicha, ehtimollikni ko'rib chiqing p(X|Y). Biz juftlarni chaqiramiz x, y) va qaysilarini filtrlang y 0,5 dan 0,7 gacha bo'lsa, ehtimollik x segmentda bo'lishi sharti bilan y segmentga tegishli 3-maydonning 2-yashil maydon maydoniga nisbatiga teng: p(X|Y) = p(X, Y) / p(Y).
E'tibor bering, ehtimolliklar p(X, Y) va p(Y, X) teng va ikkalasi ham 3-zona maydonining butun kvadrat maydoniga nisbatiga teng, ammo ehtimollik p(Y|X) va p(X|Y) teng emas; ehtimollik esa p(Y|X) 3-maydonning 1-maydonga nisbatiga teng va p(X|Y) – 3-domendan 2-domenga. Shuni ham yodda tuting p(X, Y) ko'pincha sifatida belgilanadi p(X&Y).
Shunday qilib, bizda ikkita ta'rif mavjud: p(Y|X) = p(X, Y) /p( X) va p(X|Y) = p(X, Y) / p(Y)
Keling, bu tengliklarni quyidagicha qayta yozamiz: p(X, Y) = p(Y|X)*p( X) va p(X, Y) = p(X|Y) * p(Y)
Chap tomonlar teng bo'lgani uchun o'ng tomonlari ham teng: p(Y|X)*p( X) = p(X|Y) * p(Y)
Nahotki bunday oddiy (deyarli tavtologik) transformatsiyalar katta teoremani keltirib chiqarishi mumkin!? Xulosa chiqarishga shoshilmang. Keling, nima borligi haqida yana gaplashaylik. Boshlang'ich (apriori) ehtimollik bor edi R(X) bu tasodifiy o'zgaruvchi X segmentda bir xil taqsimlangan diapazonga to'g'ri keladi X. Ba'zi voqea sodir bo'ldi Y, buning natijasida biz bir xil tasodifiy miqdorning a posteriori ehtimolini oldik X: R(X|Y) va bu ehtimollik dan farq qiladi R(X) koeffitsienti bo'yicha. Tadbir Y dalil deb ataladi, ko'proq yoki kamroq tasdiqlaydi yoki rad etadi X. Bu koeffitsient ba'zan deyiladi dalil kuchi. Dalillar qanchalik kuchli bo'lsa, Y kuzatish fakti oldingi ehtimolni qanchalik o'zgartirsa, keyingi ehtimollik avvalgisidan shunchalik farq qiladi. Agar dalillar zaif bo'lsa, posterior oldingisiga deyarli teng.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun Bayes formulasi

Oldingi bo'limda biz intervalda aniqlangan x va y uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun Bayes formulasini oldik. Har biri ikkita mumkin bo'lgan qiymatni oladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga misolni ko'rib chiqing. Muntazam tibbiy ko'riklar davomida qirq yoshida ayollarning 1 foizi ko'krak bezi saratoni bilan kasallanganligi aniqlandi. Saraton kasalligiga chalingan ayollarning 80% mamografi ijobiy natijalarga erishadi. Sog'lom ayollarning 9,6 foizi ham ijobiy mammografiya natijalarini olishadi. Tekshiruv davomida ushbu yoshdagi ayol mammogrammaning ijobiy natijasini oldi. Uning haqiqatan ham ko'krak bezi saratoni bilan kasallanish ehtimoli qanday?

Fikrlash/hisoblash jarayoni quyidagicha. Saraton bilan og'rigan bemorlarning 1 foizidan mammografiya 80% ijobiy natija beradi = 1% * 80% = 0,8%. Sog'lom ayollarning 99 foizidan mammografiya 9,6% ijobiy natija beradi = 99% * 9,6% = 9,504%. Hammasi bo'lib, ijobiy mamogramma natijalariga ega bo'lgan 10,304% (9,504% + 0,8%) dan faqat 0,8% kasal, qolgan 9,504% sog'lom. Shunday qilib, ijobiy mamogrammaga ega bo'lgan ayolning saraton kasalligiga chalinish ehtimoli 0,8% / 10,304% = 7,764% ni tashkil qiladi. 80% yoki shunday deb o'yladingizmi?

Bizning misolimizda Bayes formulasi quyidagi shaklni oladi:

Keling, ushbu formulaning "jismoniy" ma'nosi haqida yana bir bor gapiraylik. X tasodifiy o'zgaruvchi (tashxis) bo'lib, u quyidagi qiymatlarni oladi: X 1- kasal va X 2- sog'lom; Y– tasodifiy o‘zgaruvchi (o‘lchash natijasi – mammografiya), u quyidagi qiymatlarni oladi: Y 1- ijobiy natija va Y2- salbiy natija; p(X 1)- mammografiya oldidan kasallik ehtimoli (apriori ehtimollik), 1% ga teng; R(Y 1 |X 1 ) - bemor kasal bo'lsa, ijobiy natija ehtimoli (shartli ehtimollik, chunki u muammo sharoitida ko'rsatilishi kerak), 80% ga teng; R(Y 1 |X 2 ) – bemor sog'lom bo'lsa, ijobiy natija ehtimoli (shuningdek, shartli ehtimollik), 9,6% ga teng; p(X 2)- bemorning mammografiyadan oldin sog'lom bo'lish ehtimoli (apriori ehtimollik), 99% ga teng; p (X 1|Y 1 ) – ijobiy mamogramma natijasi berilgan bemorning kasal bo'lish ehtimoli (posterior ehtimollik).

Ko'rinib turibdiki, posterior ehtimollik (biz qidirayotgan narsa) biroz murakkab koeffitsient bilan oldingi ehtimolga (boshlang'ich) proportsionaldir.
Misollar

O'tilgan materialni birlashtirish uchun bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qiling.

1-misol 3 ta urna bor; birinchi 3 oq to'p va 1 qora; ikkinchisida - 2 ta oq to'p va 3 ta qora; uchinchisida - 3 ta oq to'p. Kimdir tasodifan urnalardan biriga yaqinlashadi va undan 1 ta to'pni tortib oladi. Bu to'p oq. Koptokning 1, 2, 3-urnadan olinganligining orqa ehtimolliklarini toping.

Qaror. Bizda uchta faraz bor: H 1 = (birinchi urn tanlangan), H 2 = (ikkinchi urn tanlangan), H 3 = (uchinchi urn tanlangan). Urn tasodifiy tanlanganligi sababli, gipotezalarning aprior ehtimolliklari: R(N 1) = R(N 2) = R(N 3) = 1/3.

Tajriba natijasida A = hodisasi paydo bo'ldi (tanlangan urnadan oq shar chiqarildi). H 1, H 2, H 3 gipotezalarida A hodisasining shartli ehtimolliklari: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Masalan, birinchi tenglik quyidagicha o'qiydi: "agar birinchi urna tanlangan bo'lsa, oq to'pni chizish ehtimoli 3/4 ga teng (chunki birinchi urnada 4 ta shar bor va ulardan 3 tasi oq)".

Bayes formulasini qo'llagan holda, biz gipotezalarning posterior ehtimolliklarini topamiz:

Shunday qilib, A hodisasining yuzaga kelishi haqidagi ma'lumotlardan kelib chiqqan holda, gipotezalarning ehtimolliklari o'zgardi: eng ehtimolli H 3 gipotezasiga, eng kam ehtimolli - H 2 gipotezasiga aylandi.

2-misol Ikki otuvchi bir xil nishonga mustaqil ravishda o'q uzadi, har biri bittadan o'q uzadi. Birinchi otishma uchun nishonga tegish ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun - 0,4. Otishmadan keyin nishonda bitta teshik topildi. Bu teshik birinchi otuvchiga tegishli bo'lish ehtimolini toping (biz natijani (ikkala teshik bir-biriga to'g'ri kelgan) arzimas darajada dargumon deb e'lon qilamiz).

Qaror. Tajribadan oldin quyidagi gipotezalar mumkin: H 1 = (birinchi ham, ikkinchi o'q ham tegmaydi), H 2 = (ikkala o'q ham tegadi), H 3 - (birinchi otuvchi uradi, ikkinchisi esa tushmaydi). ), H 4 = (birinchi otuvchi urmaydi, ikkinchisi esa uradi). Gipotezalarning oldingi ehtimoli:

P (H 1) \u003d 0,2 * 0,6 \u003d 0,12; P (H 2) \u003d 0,8 * 0,4 \u003d 0,32; P (H 3) \u003d 0,8 * 0,6 \u003d 0,48; P (H 4) \u003d 0,2 * 0,4 \u003d 0,08.

Kuzatilgan hodisaning shartli ehtimollari A = (maqsadda bitta teshik bor) bu farazlar bo'yicha: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1.
Spamga qarshi

Bayes formulasi spam-filtrlarni ishlab chiqishda keng qo'llanilishini topdi. Aytaylik, siz qaysi elektron xatlar spam ekanligini aniqlash uchun kompyuterni o'rgatmoqchisiz. Biz Bayesian taxminlaridan foydalangan holda lug'at va so'z birikmalaridan boshlaymiz. Keling, birinchi navbatda farazlar maydonini yarataylik. Keling, har qanday harfga nisbatan ikkita faraz qilaylik: H A - spam, H B - spam emas, balki oddiy, kerakli xat.

Birinchidan, keling, kelajakdagi spamga qarshi tizimimizni "o'rgatamiz". Keling, bizda mavjud bo'lgan barcha harflarni olib, ularni 10 ta harfdan iborat ikkita "uyma" ga ajratamiz. Biz biriga spam-harflarni joylashtiramiz va uni H A to'plami deb ataymiz, ikkinchisida biz kerakli yozishmalarni joylashtiramiz va uni H B to'plami deb ataymiz. Keling, ko'rib chiqaylik: spam va kerakli elektron pochta xabarlarida qanday so'zlar va iboralar va qaysi chastotada? Bu so'z va iboralar dalil deb ataladi va E 1 , E 2 bilan belgilanadi ... H A va H B to'plamlarida tez-tez ishlatiladigan so'zlar (masalan, "yoqdi", "sizning" so'zlari) taxminan bilan sodir bo'ladi. bir xil chastota. Shunday qilib, maktubda ushbu so'zlarning mavjudligi bizga uning qaysi uyumga tegishli ekanligi haqida hech narsa aytmaydi (zaif dalil). Keling, ushbu so'zlarga "spam" ehtimolini baholashning neytral qiymatini belgilaymiz, aytaylik, 0,5.

"Suhbatdosh inglizcha" iborasi faqat 10 ta harfda va ko'pincha spam xatlarda (masalan, barcha 10 ta spam xatning 7 tasida) to'g'ri bo'lganidan (10 tadan 3 tasida) ko'rsatilsin. Keling, ushbu iboraga spam uchun 7/10 yuqori ball, oddiy elektron pochta uchun esa pastroq ball beraylik: 3/10. Aksincha, “do‘stim” so‘zi oddiy harflarda ko‘proq uchraydi (10 tadan 6 tasi). Shunday qilib, biz qisqa xat oldik: “Do‘stim! Ingliz tilini qanday bilasiz?. Keling, uning "spamligi" ni baholashga harakat qilaylik. Biz bir oz soddalashtirilgan Bayes formulasi va taxminiy hisoblarimiz yordamida har bir uyaga tegishli bo'lgan umumiy P(H A), P(H B) baholarini qo'yamiz:

P(H A) = A/(A+B), qayerda A \u003d p a1 * p a2 * ... * pan, B \u003d p b1 * p b2 * ... * p b n \u003d (1 - p a1) * (1 - p a2) * ... * ( 1 - p an).
Shunday qilib, bizning faraziy xatimiz "spam" yo'nalishiga urg'u berilgan holda tegishli bo'lish ehtimoli bahosini oldi. Xatni qoziqlardan biriga tashlashga qaror qilsak bo'ladimi? Keling, qaror qabul qilish chegaralarini belgilaymiz:
P(H i) ≥ T bo'lsa, harf H i to'plamiga tegishli deb faraz qilamiz.
Agar P(H i) ≤ L bo'lsa, harf to'pga tegishli emas.
Agar L ≤ P(H i) ≤ T bo'lsa, u holda qaror qabul qilib bo'lmaydi.
Siz T = 0,95 va L = 0,05 ni olishingiz mumkin. Ko'rib chiqilayotgan xat uchun va 0,05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации? Ha. Keling, Bayes taklif qilganidek, har bir dalil uchun ballni boshqacha tarzda hisoblaylik. Bo'lsin:
F a - spam xatlarning umumiy soni;
F ai - sertifikatga ega harflar soni i spam to'plamida;
F b - kerakli harflarning umumiy soni;
F bi - sertifikatga ega harflar soni i kerakli (tegishli) harflar to'plamida.
Biz juda aniq natijaga erishdik - katta ehtimollik chegarasi bilan harfni kerakli harflarga kiritish mumkin, chunki P(H B) = 0,997 > T = 0,95. Nima uchun natija o'zgardi? Biz ko'proq ma'lumotdan foydalanganimiz uchun - biz har bir uyumdagi harflar sonini hisobga oldik va aytmoqchi, p ai va p bi baholarini ancha to'g'ri aniqladik. Ular Bayesning o'zi kabi, shartli ehtimollarni hisoblash yo'li bilan aniqlangan. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, p a3 - bu elektron pochta allaqachon H A spam to'plamiga tegishli ekanligini hisobga olsak, "do'stim" so'zining elektron pochtada paydo bo'lish ehtimoli. Natija uzoq kutilmadi - biz aniqroq qaror qabul qilishimiz mumkin.
Bayes korporativ firibgarlikka qarshi
Bayes yondashuvining qiziqarli qo'llanilishi MAGNUS8 tomonidan tasvirlangan.
Mening joriy loyiham (ishlab chiqarish korxonasida firibgarlikni aniqlash uchun IS) firibgarlik ehtimoli gipotezasi foydasiga bilvosita bir nechta faktlar mavjudligi / yo'qligida firibgarlik (firibgarlik) ehtimolini aniqlash uchun Bayes formulasidan foydalanadi. Algoritm o'z-o'zini o'rganish (mulohazalar bilan), ya'ni. iqtisodiy xavfsizlik xizmati tomonidan tekshirish vaqtida firibgarlik haqiqatda tasdiqlangan yoki tasdiqlanmagan taqdirda uning koeffitsientlarini (shartli ehtimolliklarni) qayta hisoblab chiqadi.
Algoritmlarni loyihalashda bunday usullar ishlab chiquvchidan ancha yuqori matematik madaniyatni talab qilishini aytish kerak, chunki hisoblash formulalarini chiqarish va/yoki amalga oshirishdagi eng kichik xatolik butun usulni bekor qiladi va obro'sizlantiradi. Buning uchun ehtimollik usullari ayniqsa aybdor, chunki inson tafakkuri ehtimollik toifalari bilan ishlashga moslashtirilmagan va shunga mos ravishda oraliq va yakuniy ehtimollik parametrlarining "jismoniy ma'nosi" ning "ko'rinishi" va tushunchasi yo'q. Bunday tushunish faqat ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari uchun mavjud va keyin siz shunchaki ehtimollik nazariyasi qonunlariga muvofiq murakkab narsalarni juda ehtiyotkorlik bilan birlashtirishingiz va chiqarishingiz kerak - sog'lom fikr endi kompozitsion ob'ektlar uchun yordam bermaydi. Bu, xususan, ehtimollik falsafasi bo'yicha zamonaviy kitoblar sahifalarida bo'lib o'tadigan jiddiy uslubiy janglar, shuningdek, ushbu mavzu bo'yicha ko'plab sofizmlar, paradokslar va qiziquvchan jumboqlar bilan bog'liq.
Men duch kelishim kerak bo'lgan yana bir nuance shundaki, afsuski, ushbu mavzu bo'yicha AMALIYATDA FOYDALI bo'lgan deyarli hamma narsa ingliz tilida yozilgan. Rus tilidagi manbalarda, asosan, faqat eng ibtidoiy holatlar uchun ko'rgazmali misollar bilan mashhur nazariya mavjud.
Men oxirgi fikrga to'liq qo'shilaman. Misol uchun, Google "Bayes ehtimolligi" kitobi kabi biror narsani topishga harakat qilganda, tushunarli narsa bermadi. To'g'ri, u Bayes statistikasi bilan kitob Xitoyda taqiqlanganligini aytdi. (Statistika professori Endryu Gelman Kolumbiya universiteti blogida uning "Regression va ko'p darajali/ierarxik modellar bilan ma'lumotlarni tahlil qilish" kitobini Xitoyda nashr etish taqiqlangani haqida xabar berdi. matn. ") Xuddi shunga o'xshash sabab Bayesian bo'yicha kitoblarning yo'qligiga olib keldimi, deb o'ylayman. Rossiyada ehtimollik?
Inson axborotini qayta ishlash jarayonida konservatizm.
Ehtimollar noaniqlik darajasini belgilaydi. Ehtimol, Bayes va bizning sezgiimizga ko'ra, bu shunchaki nol orasidagi raqam va biroz ideallashtirilgan odamning bu bayonotning to'g'riligiga ishonish darajasini ifodalaydi. Inson qandaydir ideallashtirilganligining sababi shundaki, uning ikkita bir-birini istisno qiladigan hodisalar uchun ehtimoli yig'indisi uning ushbu hodisalardan birining sodir bo'lish ehtimoliga teng bo'lishi kerak. Qo'shimchalarning xususiyati shu qadar ta'sirga egaki, bir nechta haqiqiy odamlar ularning barchasiga mos kelishi mumkin. Bayes teoremasi qo'shimchalar xususiyatining ahamiyatsiz natijasi bo'lib, uni inkor etib bo'lmaydi va barcha ehtimollar, Bayesian va boshqalar tomonidan kelishilgan. Uni yozishning bir usuli quyidagicha. Agar P(H A |D) gipoteza A berilgan qiymat D kuzatilgandan keyin bo‘lishining keyingi ehtimoli bo‘lsa, P(H A) uning D qiymati kuzatilgunga qadar bo‘lgan oldingi ehtimoli, P(D|H A ) – a berilgan D qiymati kuzatiladi, agar H A rost bo'lsa va P(D) berilgan D qiymatining shartsiz ehtimoli bo'lsa, u holda (1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D) P (D) eng yaxshi normallashtiruvchi konstanta sifatida ko'rib chiqiladi, bu esa ko'rib chiqilayotgan o'zaro eksklyuziv gipotezalarning to'liq to'plamiga posterior ehtimollar qo'shilishiga olib keladi. Agar hisoblash kerak bo'lsa, u quyidagicha bo'lishi mumkin:

Ammo ko'pincha P (D) hisobdan ko'ra chiqarib tashlanadi. Uni bartaraf etishning qulay usuli Bayes teoremasini ehtimollik-kod munosabati shakliga aylantirishdir.

H A uchun bir-birini istisno qiladigan H B gipotezasini ko'rib chiqing va H A haqidagi fikringizni o'zgartirgan bir xil berilgan miqdorga asoslanib, u haqidagi fikringizni o'zgartiring. Bayes teoremasi shunday deydi:
(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D).
Bu yerda Ō 1 H B ko'rinishida H A foydasiga orqa koeffitsientlar, Ō 0 oldingi koeffitsientlar, L esa ehtimollar nisbati sifatida statistiklarga tanish bo'lgan sondir. Tenglama 3 Bayes teoremasining 1 tenglama bilan bir xil tegishli versiyasidir va ko'pincha, ayniqsa gipotezalarni o'z ichiga olgan tajribalar uchun ancha foydalidir. Bayes tarafdorlarining ta'kidlashicha, Bayes teoremasi yangi ma'lumotlar asosida fikrlarni qayta ko'rib chiqishning rasmiy optimal qoidasidir.

Biz Bayes teoremasi tomonidan aniqlangan ideal xatti-harakatni odamlarning haqiqiy xatti-harakati bilan taqqoslashdan manfaatdormiz. Bu nimani anglatishini tushunish uchun keling, mavzu sifatida siz bilan tajriba o'tkazamiz. Ushbu sumkada 1000 ta poker chiplari mavjud. Menda bu sumkalardan ikkitasi bor, biri 700 ta qizil va 300 ta koʻk chipli, ikkinchisida 300 ta qizil va 700 ta koʻk. Qaysi birini ishlatishni aniqlash uchun tangani aylantirdim. Shunday qilib, agar bizning fikrlarimiz bir xil bo'lsa, ko'proq qizil chipli sumka chizish ehtimoli 0,5 ga teng. Endi siz tasodifiy tanlab olasiz, har bir tokendan keyin qaytasiz. 12 ta chipda siz 8 ta qizil va 4 ta ko'k rangga ega bo'lasiz. Endi siz bilgan hamma narsaga asoslanib, sumkada ko'proq qizil ranglar paydo bo'lishi ehtimoli qanday? 0,5 dan yuqori ekanligi aniq. Iltimos, reytingingizni yozmaguningizcha o'qishni davom ettirmang.

Agar siz odatdagi mavzuga o'xshasangiz, balingiz 0,7 dan 0,8 gacha tushadi. Agar biz tegishli hisob-kitoblarni bajargan bo'lsak, javob 0,97 bo'ladi. Darhaqiqat, ilgari konservatizm ta'sirini ko'rsatmagan odam, hatto Bayes teoremasi bilan yaxshi tanish bo'lsa ham, bunday yuqori bahoga ega bo'lishi juda kam uchraydi.

Agar sumkada qizil chiplarning nisbati bo'lsa R, keyin olish ehtimoli r qizil chiplar va ( n-r) ko'k rangda n qaytariladigan namunalar - p r (1–p)n–r. Shunday qilib, odatdagi sumkada va poker chipi eksperimentida, agar HA qizil chiplarning nisbati ekanligini anglatadi r A va HB ulush ekanligini bildiradi RB, keyin ehtimollik nisbati:

Bayes formulasini qo'llashda u amalga oshirishi mumkin bo'lgan, lekin amalga oshirmagan boshqa kuzatishlar ehtimolini emas, balki faqat haqiqiy kuzatish ehtimolini hisobga olish kerak. Bu tamoyil Bayes teoremasining barcha statistik va statistik bo'lmagan qo'llanilishi uchun keng ma'noga ega; bu Bayescha fikrlashning eng muhim texnik vositasidir.

Bayes inqilobi

Sizning do'stlaringiz va hamkasblaringiz "Bayes teoremasi" yoki "Bayes qoidasi" yoki Bayescha fikrlash deb ataladigan narsa haqida gapirishadi. Ular bunga chindan ham qiziqadi, shuning uchun siz internetga kirasiz va Bayes teoremasi haqidagi sahifani topasiz va ... Bu tenglama. Hammasi shu... Nega matematik tushuncha onglarda bunday jo‘shqinlikni keltirib chiqaradi? Olimlar orasida qanday "Bayes inqilobi" sodir bo'lmoqda va hatto eksperimental yondashuvning o'zini ham uning maxsus holati deb ta'riflash mumkinligi ta'kidlanadi? Bayes izdoshlari bilishining siri nimada? Ular qanday yorug'likni ko'rishadi?

Fandagi Bayes inqilobi sodir bo'lmadi, chunki ko'proq va ko'proq kognitiv olimlar birdan ruhiy hodisalar Bayes tuzilishiga ega ekanligini payqashdi; har bir soha olimlari Bayes usulidan foydalanishni boshlagani uchun emas; lekin fanning o'zi Bayes teoremasining maxsus holati bo'lgani uchun; eksperimental dalil Bayes isbotidir. Bayeslik inqilobchilarning ta'kidlashicha, siz tajriba o'tkazganingizda va sizning nazariyangizni "qo'llab-quvvatlaydigan" yoki "rad etuvchi" dalillarga ega bo'lsangiz, bu tasdiqlash yoki rad etish Bayes qoidalariga muvofiq sodir bo'ladi. Masalan, siz nafaqat nazariyangiz hodisani tushuntira olishini, balki ushbu hodisani bashorat qila oladigan boshqa mumkin bo'lgan tushuntirishlar ham mavjudligini hisobga olishingiz kerak.

Ilgari fanning eng mashhur falsafasi Bayes inqilobi bilan almashtirilgan eski falsafa edi. Karl Popperning nazariyalarni butunlay soxtalashtirish mumkin, lekin hech qachon to'liq tasdiqlanmaydi, degan fikri Bayes qoidalarining yana bir alohida holatidir; agar p(X|A) ≈ 1 - agar nazariya to'g'ri bashorat qilsa, ~X ni kuzatish A ni juda kuchli soxtalashtiradi.Agar p(X|A) ≈ 1 bo'lsa va biz X ni kuzatsak, bu shunday emas. nazariyani juda qo'llab-quvvatlash; p(X|B) ≈ 1 va X ni kuzatish A ni emas, balki B ni isbotlaydi. X ning A ni aniq tasdiqlayotganini kuzatish uchun biz p(X|B) ≈ 1 boshqa sharti ham mumkin. X|A) ≈ 1 va bu p(X|~A) ≈ 0, biz buni bila olmaymiz, chunki biz barcha mumkin bo'lgan muqobil tushuntirishlarni ko'rib chiqa olmaymiz. Masalan, Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasi Nyutonning yuqori darajada tekshiriladigan tortishish nazariyasidan oshib ketganida, u Nyuton nazariyasining barcha bashoratlarini Eynshteynning maxsus holatiga aylantirdi.

Xuddi shunday, Popperning fikr soxta bo'lishi kerakligi haqidagi da'vosini ehtimollikning saqlanishi haqidagi Bayes qoidasining ko'rinishi sifatida talqin qilish mumkin; agar X natijasi nazariya uchun ijobiy dalil bo'lsa, ~X natija nazariyani ma'lum darajada soxtalashtirishi kerak. Agar siz X va ~ X ni nazariyani "qo'llab-quvvatlovchi" deb talqin qilmoqchi bo'lsangiz, Bayes qoidalari buni imkonsiz deb aytadi! Nazariya ehtimolini oshirish uchun siz uni ehtimolini kamaytiradigan testlardan o'tkazishingiz kerak; Bu shunchaki fanda charlatanlarni aniqlash qoidasi emas, balki Bayes ehtimollik teoremasining natijasidir. Boshqa tomondan, Popperning faqat soxtalashtirish kerak va hech qanday tasdiqlash kerak emas degan fikri noto'g'ri. Bayes teoremasi shuni ko'rsatadiki, soxtalashtirish tasdiqlash bilan solishtirganda juda kuchli dalildir, lekin qalbakilashtirish hali ham ehtimollik xususiyatiga ega; u tubdan boshqa qoidalar bilan boshqarilmaydi va bu bilan Popper ta'kidlaganidek, tasdiqlashdan farq qilmaydi.

Shunday qilib, biz kognitiv fanlardagi ko'plab hodisalar, shuningdek, olimlar tomonidan qo'llaniladigan statistik usullar va ilmiy usulning o'zi Bayes teoremasining maxsus holatlari ekanligini aniqlaymiz. Bayes inqilobi aynan mana shu.
2. Iqtisodiyot bo'yicha Nobel mukofoti sovrindori Kahneman (va boshq.) ajoyib kitobida Bayesning ko'plab turli xil ilovalarini tasvirlab beradi. Faqatgina ushbu juda katta kitobning qisqacha mazmunida men Presviterian vazirining nomiga 27 ta havolalarni sanab chiqdim. Minimal formulalar. (.. Menga juda yoqdi. To'g'ri, bu murakkab, matematika juda ko'p (va qaerda usiz), lekin alohida boblar (masalan, 4-bo'lim. Ma'lumot), mavzu bo'yicha aniq. Men hammaga maslahat beraman. Matematika bo'lsa ham. siz uchun qiyin, qatorni o'qing, matematikani o'tkazib yuboring va foydali donlarni baliq ovlang ...
14. (2017 yil 15 yanvardagi qo'shimcha), Toni Krillining kitobidan bo'lim. Siz bilishingiz kerak bo'lgan 50 ta g'oya. Matematika.
Nobel mukofoti sovrindori fizik Richard Feynman, ayniqsa, xudbin faylasuf haqida gapirar ekan, shunday degan edi: “Meni ilm sifatida falsafa emas, balki uning atrofida yaratilgan dabdaba g‘azablantirmoqda. Qaniydi faylasuflar o‘z ustidan kulsa! Qaniydi ular: "Men buni shunday deyman, lekin Von Leyptsig buni boshqacha deb o'ylagan va u ham bu haqda nimanidir biladi" deb aytishsa. Agar ular bu faqat o'zlarining ekanligini aniqlab berishni eslashsa .

Ularning ehtimollari va ularga mos keladigan shartli ehtimollar ma'lum bo'lsin. Keyin hodisaning yuzaga kelish ehtimoli:

Bu formula deyiladi umumiy ehtimollik formulalari. Darsliklarda u teorema bilan ifodalanadi, uning isboti elementar: ko'ra hodisalar algebrasi, (voqea sodir bo'ldi va yoki voqea yuz berdi va voqea sodir bo'lganidan keyin yoki voqea yuz berdi va voqea sodir bo'lganidan keyin yoki …. yoki voqea yuz berdi va voqea kuzatilgan). Gipotezalardan beri mos kelmaydigan bo‘lib, hodisa bog‘liq, keyin esa muvofiq mos kelmaydigan hodisalar ehtimoli uchun qo'shish teoremasi (birinchi qadam) va bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi (ikkinchi qadam):
Ehtimollarni qayta baholashning Bayes sxemasi hamma joyda uchraydi va u turli xil firibgarlar tomonidan faol foydalaniladi. Aholining omonatlarini jalb qiladigan, ularni go'yoki biror joyga investitsiya qiladigan, muntazam ravishda dividendlar to'lab turadigan va hokazo nomga aylangan uch harfli aktsiyadorlik jamiyatini ko'rib chiqaylik. Nima bo'lyapti? Kundan kun, oydan oy o'tadi va reklama va og'zaki so'z orqali etkazilayotgan tobora ko'proq yangi faktlar moliyaviy piramidaga bo'lgan ishonch darajasini oshiradi. (o'tmishdagi voqealar tufayli Bayesning orqadagi qayta baholashi!). Ya'ni, omonatchilar nazarida, bu ehtimoli doimiy ravishda oshib bormoqda "Bu jiddiy ofis"; qarama-qarshi gipoteza ehtimoli esa ("bular oddiy firibgarlar"), albatta, kamayadi va kamayadi. Qolganlari, menimcha, aniq. Shunisi e'tiborga loyiqki, erishilgan obro'-e'tibor tashkilotchilarga nafaqat murvatsiz, balki shimsiz ham qolgan Ivan Vasilevichdan muvaffaqiyatli yashirinish uchun vaqt beradi.
Tajriba hodisani ro’yobga keltiruvchi tayin shartlar to’plami S ning bajarilishidan iboratdir. Hodisani esa tajriba natijasi sifatida qaraymiz.
Masalan, tajriba tangani muayyan sharoitda tashlashdan iborat bo’lsin.Tanga va uni tashlash S shartlar to’plamini tashkil etsa, tajriba natijalari tanganing “gerb” yoki “raqam” tomonlari bilan tushishi hodisalaridir.
Biz kuzatgan hodisalarni uch turga ajratish mumkin: muqarrar, ro’y bermaydigan va tasodifiy hodisalar.Muqarrar hodisa deb, tajriba natijasida albatta ro’y beradigan hodisaga aytiladi va biz bunday xodisani (omega) harfi bilan belgilaymiz.
Mumkin bo’lmagan hodisa deb,tajriba natijasida mutlaqo ro’y bermaydigan hodisaga aytiladi va bu hodisani  ( omega) belgisi bilan belgilaymiz.
Tasodifiy hodisa deb, tajriba natijasida ro’y berishi ham, ro’y bermasligi ham mumkin bo’lgan hodisaga aytiladi. Tasodifiy hodisalarni A, V, S, … katta lotin harflari bilan belgilaymiz.
Misol:O’yin kubigi bir marta tashlanadi. Bu holda
={tushgan ochko 6 dan katta emas}–muqarrar hodisa;
={tushganochko10gateng}–mumkinbo’lmaganhodisa;
A={tushganochkojuftson}–tasodifiyhodisalardir.
Albatta bu tajribaga mos bo’lgan boshqa ko’plab hodisalarni ta’riflashimiz mumkin.
Elementar hodisa deb, tajribaning har qanday natijasiga aytiladi, hamda harfi bilan belgilanadi. Tajriba natijasida ro’y berishi mumkin bo’lgan barcha elementar hodisalar to’plami elementar hodisalar fazosi deyiladi. Elementar hodisalar fazosi kabi belgilanadi.
Misollar:
Tajriba tangani ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin.Bunda elementar hodisalar quyidagicha bo’ladi:
1=(gg),2=(gr),3=(rg),4=(rr).
Elementar hodisalar fazosi to’rt elementdan iborat:
Agar tanga uch marta tashlansa, u holda
1=(ggg),2=(ggr),3=(grr),4=(rrr)
5=(rrg),6=(rgg),7=(rgr),8=(grg).
Tajriba o’yin kubigini ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bu holda
ij=(i,j)bo’lib,i-birinchi tashlashda tushgan ochkoni bildiradi
1. Hodisalarning to'la ehtimolligi. (Hodisalarning to'la guruhi, shartli ehtimollik.)
A hodisaning ehtimoli deb, bu hodisa ro’y berishiga qulaylik
tug’diruvchi elementar natijalar sonining tajribaning yagona mumkin bo’lgan va
teng imkoniyatli elementar natijalari jami soniga nisbatiga aytiladi hamda R(A) =
mn formula bilan aniqlanadi. Hodisalarning to’la guruhi deb, sinashning yagona mumkin bo’lgan
hodisalari to’plamiga aytiladi.
Bu ta’rifga binoan, agar A1, A2,….An hodisalar hodisalarning to’la guruhini
tashkil etsa, u holda bu hodisalar uchun
A1 +A2 +…. +An = Ω, AiAj = ∅, (i≠j)
munosabatlar o’rinli bo’ladi
2. To'la ehtimol. Bayes formulasi.
Hodisalarning to’la guruhi deb, sinashning yagona mumkin bo’lgan
hodisalari to’plamiga aytiladi.
Bu ta’rifga binoan, agar A1, A2,….An hodisalar hodisalarning to’la guruhini
tashkil etsa, u holda bu hodisalar uchun
A1 +A2 +…. +An = Ω, AiAj = ∅, (i≠j)
munosabatlar o’rinli bo’ladi
3. Ehtimolning klassik va geometrik ta'ri_ari.
Quyida ehtimolning klassik
ta’rifini keltiramiz.
Ta’rif. A hodisaning ehtimoli deb, bu hodisa ro’y berishiga qulaylik
tug’diruvchi elementar natijalar sonining tajribaning yagona mumkin bo’lgan va
teng imkoniyatli elementar natijalari jami soniga nisbatiga aytiladi hamda R(A) =
mn
formula bilan aniqlanadi.
Ehtimolning klassik ta’rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1-xossa. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng.
Haqiqatan ham, bu holda m=n va demak.
P(Ω) = = = 1
nn
mn
Ba’zan geometrik mulohazalarga asoslangan masalalarda ehtimolning geometrik ta’rifi qo’llaniladi. Ushbu ta’rifni bayon qilishga o’tamiz. Biror G soha berilgan bo’lib, bu soha g sohani o’z ichiga olsin. G sohaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning g sohaga xam tushish ehtimolini topish talab etilsin. Bu erda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va
cheksizdir. Shuning uchun, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz.
Tashlangan nuqta G ga tushish ehtimoli shu g qismining o’lchoviga (uzunligiga,
yuziga, hajmiga) proportsional bo’lib, g ning shakliga va g ni G sohaning qaerida
joylashganligiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning
ehtimoli G ning ulchovi R = G ning ulchovi formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan R ehtimollik ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantiradi.
4. Ehtimollikning turli ta'ri_ari. ( Klassik ta'rif, statistik ta'rif, geometrik ta'rif.)
5. Hodisalarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari. (hodisalar yig'ndisi ehtimoli, shartli ehtimollik. )
6. Bosh to'plam normal taqsimlanganligi haqidagi gipotezani Pirsonning muvo_qlik kriteriyasi bo'yicha tekshirish.(n_i
- nazariy chastotalar, ni
- emperik chastotalar, _2kuz
- kuzatish malumotlari, _2
kr(; k = n􀀀1)􀀀kritik nuqta.)
7. Tanlanma o'rta qiymat va tanlanma dispersiyani hisoblashning yig'indilar metodi. (h􀀀 teng uzoqlikdagi. Tanlanma to’plam, yoki oddiy qilib, tanlanma deb tasodifiy ravishda tanlab olingan ob’ektlar to’plamiga aytiladi. Tanlanmani tuzishda ikki xil yo’l tutish mumkin: ob’ekt tanlanib va uning ustida kuzatish o’tkazilgandan so’ng, u bosh to’plamga qaytarilishi yoki qaytarilmasligi mumkin. 8. Tanlanmaning sonli xarakteristikalari. (Tanlanma o'rta qiymat _xT , tanlanma dispersiya DT )
9. Tanlanmaning statistik taqsimoti. (chastotalar va nisbiy chastotalar taqsimoti.) Bosh to’plamdan tanlanma olingan bo’lsin. Bunda x1 qiymat n1 marta, x 2 qiymat n2 marta kuzatilgan va ∑ni = n bo’lsin. Kuzatilgan xi qiymatlar variantalar, variantalarning ortib yoki kamayib borish tartibida yozilgan ketma-ketligi esa variatsion qator deyiladi. Kuzatishlar soni chastotalar, ularning tanlanma hajmiga nisbati n n W i i = esa nisbiy chastotalar deyiladi. Tanlanmaning statistik taqsimoti deb, variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar ro’yxatiga aytiladi.
1. Shartli ehtimol.
1-ta'rif. Agar A va B hodisalarning birgalikda ro’y berish ehtimoli: P(AB)=P(A)P(B) bo’lsa, A va B hodisalar bog’liq bo’lmagan hodisalar dеyiladi. Ko’p hollarda A hodisaning ehtimolini biror B hodisa (P(B)>0 dеb faraz qilinadi) ro’y bеrgandan so’ng hisoblashga to’g’ri kеladi. 2-ta'rif. A hodisaning B hodisa ro’y bеrish sharti ostidagi shartli ehtimoli dеb, ushbu formula bilan aniqlanadigan ehtimolga aytiladi: PB(A)=P(AB)/P(B) , P(B) >0
3-xossa. A va B bog’liqli hodisalarning birgalikda ro’y bеrish ehtimoli ulardan birining ehtimolini shu hodisa ro’y bеrish sharti ostida hisoblan ikkinchi hodisaning shartli ehtimoliga ko’paytmasiga tеng:
P(AB)=P(A)PA(B) yoki P(AB)=P(B)PB(A).
4-xossa. Bir nеchta bog’liqli hodisalarning birgalikda ro’y bеrish ehtimoli birining ehtimolini qolganlarining shartli ehtimollariga ko’paytmasiga tеng, bunda har bir kеyingi hodisaning ehtimoli, undan oldingi hamma hodisalarning ro’y bеrdi dеgan shartida hisoblanadi.
P(A1A2...An)=P(A1)PA1(A2).... PA1......An-1(An).
2. To’la ehtimol formulasi.
To’la gruppa tashkil etadigan, juft-juti bilan birgalikda bo’lmagan B1, B2,....,Bn- hodisalarning gipotеzalarining biri ro’y bеrgandangina ro’y bеrishi mumkin bo’lgan A hodisaning ehtimoli, gipotеzalaridan har birining ehtimolini A hodisaning ehtimoli tеgishli shartli ko’paytmalari yig’indisiga tеng.
P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+.....+R(Bn)PBn(A) (**) Bu еrda
P(B1)+P(B2)+....+P(Bn)=1
(**) tеnglik «to’la ehtimol formulasi» dеyiladi.
3. Bayеs formulasi. A hodisa, hodisalarning to’la gruppasini tashkil etadigan, juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan, B1, B2, ....., Bn hodisalarning (gipotеzlarning) biri ro’y bеrgandagina ro’y bеrishi mumkin bo’lsin. Agar A hodisa ro’ bеrgan bo’lsa, u holda hodisalraning ehtimollarini ushbu Bayеs formulalari bo’yicha qayta baholash mumkin. PA(Bi)=P(Bi)PBi(A)/P(A); i=1,2,......,n Bu yеrda P(A)=P(B1)PB1(A)P(B2)PB2(A)+… +P(Bn)PBn(A)
Misol 1. Davlatimizdan armiya safiga chaqiriluvchi o’smirlardan 50% i 1-viloyatdan, 30% i 2- viloyatdan va 20% 3-viloyatdan to’plandi. 1-viloyatdan har 100 o’smirdan 10 tasi, 2-viloyatdan esa 15 tasi va 3-viloyatdan 20 tasi qandaydir kasallik bilan kasallangan bo’lsin. Armiya safiga chaqirilgan o’smirlardan ixtiyoriy biri tibbiy ko’rikdan o’tkazilganda sog’lom ekanligi aniqlandi. Shu o’smirning 1-viloyatdan bo’lish ehtimoli topilsin. Еchish A-o’smirning sog’lom bo’lish hodisasi topilsin. Bu yеrda uchta gipotеza B1-o’smir 1-viloyatdan, B2-o’smir 2-viloyatdan, B3-o’smir 3-viloyatdan chaqirganligi bo’lsa, P(B1)= 0,5; P(B2)=0,3; P(B3)=0,2 o’smirning sog’lom bo’lishining shartli ehtimollari: PB1(A)=0,9;PB2(A)=0,85; PB3(A)=0,8 Tavakalliga chaqirilgan o’smirning sog’lom bo’lish ehtimoli: P(A)=P(B1) PB1(A)+ P(B2)PB2(A)+P( B3)PB3(A)= 0,5*0,9+0,3*0,85+0,2*0,8=0,865 U holda izlanayotgan ehtimol
Pa(B1)=P(B1)PB1(A)/P(A)*0,52
Tеlеgraf axboroti «nuqta» va «tirе» signallaridan iborat. Axborotning «nuqta» dan iborat qismining urtacha 2/3 bo’lagi va «tirе» dan iborat qismining o’rtacha 1/3 bo’lagi statistik kuzatishlarda noto’g’ri ko’rsatiladi. Uzatilayotgan signallar ichida 5:3 nisbatda «nuqta» va «tirе» signallari uchraydi. Uzatilayotgan signallar qabul qilinganligi ma'lum. Uning a) «nuqta» signali qabul qilingan. b) «tirе» signali qabul qilinganligining ehtimoli topilsin. Еchish A-«nuqta» signali qabul qilinganlik hodisasi. B- «tirе» signali qabul qilingalik hodisasi bo’lsin. H1-uzatilgan signal «nuqta» va H2-uzatilgan signal «tirе»dan iborat ikkita gipotеza bo’lib, shartga ko’ra P(H1):P(H2)=5:3 va P(H1)+P(H2)=1. bulardan P(H1)=5/8; P(H2)=3/8 .
Agar voqea faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lgan taqdirda sodir bo'lsa, u holda bu hodisalarning har birining ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng va tegishli shartli ehtimollik hamyoni .

Bunda hodisalar gipoteza, ehtimollar esa apriori deb ataladi. Bu formula umumiy ehtimollik formulasi deb ataladi.

Bayes formulasi to'liq hodisalar guruhini tashkil etuvchi har qanday hodisa bilan birga paydo bo'ladigan hodisa sodir bo'lganda va gipotezalarning ehtimolliklarini miqdoriy qayta baholashni amalga oshirish zarur bo'lganda amaliy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Apriori (tajribadan oldin) ehtimollar ma'lum. Posteriori (tajribadan keyin) ehtimolliklarni hisoblash talab qilinadi, ya'ni. Asosan, siz shartli ehtimollarni topishingiz kerak. Bayes formulasi quyidagicha ko'rinadi:
Keyingi sahifada muammo haqida gap boradi. Muammoni hal qilish misoli
1-topshiriqning sharti
Zavodda 1, 2 va 3 dastgohlar mos ravishda barcha qismlarning 20%, 35% va 45% ni ishlab chiqaradi. Ularning mahsulotlarida nuqson mos ravishda 6%, 4%, 2% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan buyumning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday? Uning ishlab chiqarilganligi ehtimoli qanday: a) 1-mashinada; b) 2-mashina; c) 3-mashina?
1-muammo yechimi
Standart mahsulotning nuqsonli bo'lganligini hodisa bilan belgilang. Voqea faqat uchta hodisadan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin:
Mahsulot 1-mashinada ishlab chiqariladi;
Mahsulot 2-mashinada ishlab chiqariladi;
Mahsulot 3-mashinada ishlab chiqariladi;
Shartli ehtimollarni yozamiz: Umumiy ehtimollik formulasi
Agar hodisa faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, u holda hodisaning ehtimolligi formula bo'yicha hisoblanadi.Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz hodisaning ehtimolini topamiz:
Bayes formulasi
Bayes formulasi sizga "sabab va oqibatni qayta tartibga solish" imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.
1-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
2-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
3-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:
2-topshiriqning sharti
Guruh 1 nafar a’lochi, 5 nafar a’lochi va 14 nafar o‘rtamiyona talabalardan iborat. A’lochi talaba 5 va 4 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, yaxshi o‘quvchi 5, 4 va 3 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, o‘rtacha o‘quvchi esa 4,3 va 2 ga teng ehtimollik bilan javob beradi. Tasodifiy tanlangan talaba javob berdi 4. O'rtacha o'quvchini chaqirish ehtimoli qanday?
2-muammo yechimi
Gipotezalar va shartli ehtimollar
Quyidagi farazlar mumkin:A’lochi talaba javob berdi;
Yaxshi javob berdi;
– o‘rtamiyona talaba javob berdi;
Voqea - talaba 4 ga ega bo'lsin.
Shartli ehtimollar:
Javob: O'rta nazorat ishini hal qilish qiymati 700 - 1200 rubl (lekin butun buyurtma uchun 300 rubldan kam bo'lmagan). Narxga qarorning shoshilinchligi (kunlardan bir necha soatgacha) kuchli ta'sir ko'rsatadi. Imtihon / testda onlayn yordam narxi - 1000 rubldan. chipta yechimi uchun. Ilova to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirilishi mumkin, avvalroq vazifalarning holatini o'chirib tashlab, uni hal qilish muddatlari haqida sizni xabardor qiladi. Javob vaqti bir necha daqiqa.