Reja: Kirish. Asosiy qism. Extimollar nazariyasini sug’urta, bank va moliya tizimiga tadbiqlari

Ehtimollar nazariyasi tarixi

Ehtimollar nazariyasining tarixi ko'plab o'ziga xos xususiyatlar bilan ajralib turadi. Birinchidan, taxminan bir vaqtning o'zida paydo bo'lgan (masalan, matematik tahlil yoki analitik geometriya) matematikaning boshqa sohalaridan farqli o'laroq, ehtimolliklar nazariyasida antik va o'rta asrlarga xos bo'lmagan predmetlar mavjud edi, bu mutlaqo Yangi vaqtni yaratish edi. Uzoq vaqt davomida ehtimollik nazariyasi sof eksperimental fan sifatida qabul qilingan va "juda ham matematik emas", uning qat'iy asoslanishi faqat 1929 yilda ishlab chiqilgan, ya'ni hatto o'rnatilgan nazariya aksiomatikasidan ham kechroq (1922). Bugungi kunda ehtimollik nazariyasi amaliy fanlar sohasida o'zining qo'llanilish sohasi bo'yicha birinchi o'rinlardan birini egallaydi; "Ehtimoliy usullar bu yoki boshqa tarzda qo'llanilmaydigan tabiiy fanlar deyarli yo'q".

Tarixchilar ehtimollik nazariyasining rivojlanishida bir necha davrlarni ajratib ko'rsatishgan.

16-asrgacha, orqa fon. Qadimgi davrlarda va O'rta asrlarda tabiiy faylasuflar tasodifning paydo bo'lishi va uning tabiatdagi roli to'g'risida metafizik munozaralar bilan cheklanganlar. Bu davrda matematiklar ehtimollik nazariyasi bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqdilar va ba'zan echishdi, ammo hali umumiy usullar va tematik tushunchalar paydo bo'lmagan. Bu davrning asosiy yutug'i keyinchalik ehtimollik nazariyasini yaratuvchilar uchun foydali bo'lgan kombinatorial usullarni ishlab chiqish deb hisoblash mumkin.

XVII asrning ikkinchi yarmida cheksiz ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari va usullari shakllanishining boshlanishi. Dastlab, rag'bat birinchi navbatda qimor o'yinlarida yuzaga keladigan muammolar edi, ammo demografik statistika, sug'urta va taxminiy hisob-kitoblar bo'yicha amaliy vazifalarni o'z ichiga olgan ehtimollik nazariyasi doirasi deyarli darhol kengaya boshladi. Ushbu bosqichda Paskal va Fermat yangi fan g'oyalariga muhim hissa qo'shdilar. Gyuygens ikkita fundamental tushunchani kiritdi: voqea ehtimolini raqamli o'lchovi, shuningdek tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish tushunchasi.

18-asrda ehtimolliklar nazariyasining tizimli ekspozitsiyasi bilan monografiyalar paydo bo'ldi.Ulardan birinchisi Yoqub Bernullining "Taxminlar san'ati" (1713) kitobi edi.Unda Bernoulli tasodifiy hodisa ehtimolining klassik ta'rifini taklif qildi, chunki ushbu hodisa bilan bog'liq bo'lgan ehtimoliy natijalar sonining umumiy natijalar soniga nisbati. Shuningdek, u murakkab hodisalar uchun ehtimollikni hisoblash qoidalarini bayon qildi va "katta sonlar qonuni" kalitining birinchi versiyasini berdi, nima uchun bir qator testlardagi voqealar chastotasi tasodifiy ravishda o'zgarmasligini, ammo ma'lum ma'noda uning yakuniy nazariy qiymatiga (ya'ni ehtimollik) ega ekanligini tushuntirdi.

Bernoulli g'oyalari 19-asr boshlarida Laplas, Gauss, Poisson tomonidan ancha rivojlangan.Amaliy statistikada ehtimoliy usullardan foydalanish sezilarli darajada kengaydi.Matematik tahlil usullaridan foydalanishga imkon beradigan doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ehtimollik tushunchasi ham aniqlangan.Fizikada ehtimollik nazariyasini qo'llashning birinchi urinishlari paydo bo'ladi.19-asrning oxiriga kelib statistik fizika paydo bo'ldi, o'lchov xatolarining qat'iy nazariyasi, ehtimoliy usullar turli xil amaliy fanlarga kirib bordi.

20-asrda mikroto'lqinlar nazariyasi fizikada, biologiyada irsiyat nazariyasi yaratildi, ularning ikkalasi ham asosan ehtimoliy usullarga asoslangan. Karl Pirson matematik statistika algoritmlarini ishlab chiqdi, ular amaliy o'lchovlarni tahlil qilish, gipotezalarni tekshirish va qarorlarni qabul qilish uchun keng va hamma uchun ishlatiladi. A. N. Kolmogorov ehtimollik nazariyasining klassik aksiomatikasini bergan. Ehtimollar nazariyasini qo'llashning boshqa yangi sohalari qatorida, ma'lumot nazariyasi va tasodifiy jarayonlar nazariyasini ham eslatib o'tish kerak. Ehtimollik nima va uning barqarorligi sababi nima haqida falsafiy munozaralar davom etmoqda. O'rta asrlar Evropa va yangi asrning boshlanishi

Birinchi ehtimoliy vazifalar turli qimor o'yinlarida paydo bo'ldi - zar, karta va boshqalar. 13-asrdagi frantsuz kanoneri Richard de Furnieval uchta zardan keyin barcha mumkin bo'lgan nuqtalarni to'g'ri hisoblab chiqdi va ushbu summalarning har birini olish usullarini ko'rsatdi. Ushbu usullar sonini, ehtimollikka o'xshash, kutilayotgan hodisaning birinchi raqamli o'lchovi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Fournivaldan oldin va ba'zan undan keyin, masalan, 3 va 4 balllarning yig'indisi bir xil ehtimoli borligini hisobga olgan holda, ko'pincha noto'g'ri hisoblab chiqilgan, chunki ikkalasi ham "faqat bitta yo'nalishda" bo'lishi mumkin: rulon natijalariga ko'ra "uch birlik" va "ikkitadan ikkitasi" birliklari "mos ravishda. Italiyalik Luka Pakioli (1494) tomonidan nashr etilgan "Arifmetika, geometriya, munosabatlar va nisbatlar yig'indisi" keng matematik entsiklopediyasida ushbu mavzudagi o'ziga xos topshiriqlar mavjud: agar ketma-ket o'yinlar muddatidan oldin to'xtatilsa, ikki o'yinchi o'rtasida tikish qanday bo'linadi. Shunga o'xshash vazifaning misoli: o'yin 60 ochkoga qadar boradi, g'olib 22 dukat miqdorida pul to'laydi, o'yin davomida birinchi o'yinchi 50 ochko to'pladi, ikkinchisi - 30, shundan so'ng o'yin to'xtatilishi kerak edi; Boshlang'ich stavkani adolatli ravishda taqsimlash talab qilinadi. Qaror "adolatli" degan ma'noni anglatadi; Pacioli o'zi to'plangan ballarga mutanosib ravishda taqsimlashni taklif qildi (55/4 va 33/4 dukatlar); Keyinchalik uning qarori xato deb topildi.

XVI asrning katta algebraisti Gerolamo Kardano o'yinni tahlil qilishga bag'ishlangan "Zar zarralari o'yinidagi kitob" (1526, vafotidan keyin nashr etilgan) ma'lumotli monografiyasini nashr etgan. Kardano ballar qiymati uchun to'liq va xatosiz kombinatsion tahlilni o'tkazdi va turli hodisalar uchun "qulay" hodisalar ulushining kutilgan qiymatini ko'rsatdi: masalan, uchta zarni tashlashda, barcha 3 zarning qiymatlari 6/216 yoki 1/36 ga to'g'ri keladigan holatlar nisbati. Kardano ehtiyotkorlik bilan ta'kidladi: o'rganilgan voqealar soni, oz sonli o'yinlar uchun nazariy jihatdan juda farq qilishi mumkin, ammo seriyalardagi o'yinlar qancha ko'p bo'lsa, bu farqning ulushi shunchalik kichik bo'ladi. Aslida, Kardano ehtimollik tushunchasiga yaqinlashdi:

Shunday qilib, hisoblashning bitta umumiy qoidasi mavjud: mumkin bo'lgan tomchilarning umumiy sonini va ma'lumotlarning paydo bo'lish usullarini hisobga olish kerak, so'ngra oxirgi raqamning qolgan mumkin bo'lgan tomchilar soniga nisbati topiladi.

Yana bir italiyalik algebraist Nikkolo Tartalya, Patsiolining pul tikish masalasini yechishda yondashishini tanqid qildi: oxir-oqibat, agar o'yinchilardan biri bitta ochkoni qo'lga kirita olmagan bo'lsa, Pacioli algoritmi raqibiga to'liq tiklanishni beradi, ammo bu juda adolatli, chunki g'alaba qozonish uchun ba'zi imkoniyatlar mavjud. lagger hali ham bor. Kardano va Tartalya o'zlarining bo'linish usullarini taklif qilishdi, ammo keyinchalik bu usullar ham muvaffaqiyatsiz deb topildi.

"Zar o'ynayotganda ballarning chiqib ketishi to'g'risida" risolasini yozgan Galiley Galiley (1718, vafotidan keyin nashr etilgan) ham ushbu mavzuni o'rgangan. Galileyning o'yin nazariyasini taqdimoti har tomonlama va tushunarli. Galiley o'zining "Dunyoning ikkita yirik tizimidagi dialog, Ptolemeyik va kopernik tilidagi muloqoti" kitobida astronomik va boshqa o'lchovlar xatoligini taxmin qilish mumkinligini ta'kidlab, kichik o'lchov xatolar kattaroqroq bo'lishini ta'kidladi, ikkala yo'nalishda ham og'ish ehtimoli bir xil va o'rtacha natija bo'lishi kerak. o'lchangan qiymatning haqiqiy qiymatiga yaqin bo'lish. Ushbu sifat jihatlari tarixda birinchi bo'lib xatolarning normal taqsimlanishini bashorat qilgan edi.

XVII asr: Paskal, Farm, Gyuygens

Paskalning kombinatorial tadqiqotlarining asosi bo'lgan arifmetik uchburchak

XVII asrda ehtimolliklar nazariyasi muammolari to'g'risida aniq tasavvur shakllana boshladi va ehtimoliy muammolarni echishning birinchi matematik (kombinatorial) usullari paydo bo'ldi. Ehtimollar matematik nazariyasining asoschilari Blez Paskal va Per Fermat edi.

Bunga qadar, havaskor matematik, Chevalier de Mere, "ko'zoynak muammosi" deb nomlangan Paskalga murojaat qildi: bir vaqtning o'zida yo'qotish uchun kamida ikkita oltitani qo'yish uchun necha marta ikkita zar zarb qilish kerak edi? Paskal va Fermat bu muammo va u bilan bog'liq masalalar to'g'risida bir-birlari bilan yozishmalarga kirishdilar (1654). Ushbu yozishmalarning bir qismi sifatida olimlar ehtimoliy hisoblashlar bilan bog'liq bir qator muammolarni muhokama qilishdi; xususan, garovni ajratishning eski muammosi ko'rib chiqildi va ikkala olim ham taklifni yutib olishning qolgan imkoniyatlariga qarab bo'lish kerak degan qarorga kelishdi. Paskal de "Mere" "nuqta muammosini" hal qilishda yo'l qo'ygan xatosiga ishora qildi: de Mere tenglashtirilgan hodisalarni noto'g'ri aniqlab, javobni oldi: 24 ta otish, Paskal to'g'ri javob berdi: 25 ta otish.

Paskal o'z yozuvlarida kombinatorial usullardan foydalanishni ancha ilgari surdi va uni "Arifmetik uchburchak to'g'risidagi risola" (1665) kitobida tizimlashtirdi . Ehtimollikka asoslangan yondashuvga asoslanib, Paskal hatto (vafotdan keyin e'lon qilingan eslatmalarda) imonli bo'lish ateistdan ko'ra foydaliroq ekanligini isbotladi (Paskalning pul tikish qarang).

Xristian Gyuygens

Paskal va Fermatning munozara mavzusi (tafsilotlarsiz) Kristian Gyuygensga ma'lum bo'ldi, u o'zining "Qimor o'yinlaridagi hisob-kitoblar to'g'risida" (1657) o'z tadqiqotini nashr qilgan: ehtimollik nazariyasi to'g'risidagi birinchi risola. Kirish qismida Gyuygens yozadi:

O'ylaymanki, mavzuni sinchkovlik bilan o'rganish bilan o'quvchi uning nafaqat o'yin bilan shug'ullanishini, balki bu erda juda qiziqarli va chuqur nazariya asoslari qo'yilganligini payqaydi.

Gyuygens traktati Ferma va Paskal ko'rib chiqadigan masalalarni batafsil bayon qiladi, shu bilan birga yangi savollar tug'diradi. Gollandiyalik olimning asosiy yutug'i matematik kutish kontseptsiyasini, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining nazariy o'rtacha qiymatini kiritish edi. Gyuygens, shuningdek, uni hisoblashning klassik usuliga e'tibor qaratdi:

Agar summa {\ displaystyle a} bo'lgan holatlar soni bo'lsa.{\ displaystyle p} a ga teng, va {\ displaystyle b}  yig'indisi {\ displaystyle q}  ga teng bo'lsa, u holda men kutgan narsaning narxi {\ displaystyle {\ frac {ap + bq} { p + q}}}

Iqtibosdan ko'rinib turibdiki, Gyuygens "xarajat" atamasini birinchi bo'lib ishlatgan va "kutish" atamasi Gyuygensning risolasini van Shouten tomonidan lotin tiliga tarjima qilishda birinchi marta paydo bo'lgan va fanda keng qabul qilingan.

Gyuygens shuningdek, pul tikish masalasini ham tahlil qilib, uning yakuniy echimini topdi: tikish o'yin davom etganda g'alaba qozonish ehtimoliga mutanosib ravishda taqsimlanishi kerak. Shuningdek, u birinchi bo'lib demografik statistikaga ehtimoliy usullarni qo'llagan va o'rtacha umr ko'rishni qanday hisoblashni ko'rsatgan.

Ingliz statistiklari Jon Graunt (1662) va Uilyam Pettining (1676, 1683) nashrlari o'sha davrga tegishli. Bir asrdan ko'proq vaqt davomida ma'lumotlarni qayta ko'rib chiqib, ular London aholisining ko'plab demografik xususiyatlari, tasodifiy dalgalanmalarga qaramay, juda barqaror ekanligini ko'rsatdi - masalan, yangi tug'ilgan o'g'il va qizlar sonining nisbati kamdan-kam hollarda 14 dan 13 gacha, mayda tebranishlar va o'lim darajasi aniq darajadan farq qiladi. tasodifiy sabablar. Ushbu ma'lumotlar ilmiy jamoalarni yangi g'oyalarni qabul qilishga tayyorladi.

Graunt shuningdek, birinchi marotaba o'lim ko'rsatkichlari jadvallarini - o'lim funktsiyalari yoshini belgilab qo'ydi. Ehtimollik nazariyasi va uni demografik statistikada qo'llash muammolari Gollandiyada Yoxann Xudd va Yan de Vitt tomonidan ham hal qilindi, ular 1671 yilda o'lim jadvallarini tuzdilar va ulardan hayotning yillik stavkalarini hisoblashda foydalandilar. To'liqroq savollarning ushbu doirasini 1693 yilda Edmund Xelli e'lon qilgan.

XVIII asr Gyuygensning kitobi Per de Montmo'rning "Qimor o'yinlarini o'rganish tajribasi" risolalariga (fr. Essay d'analyse sur les jeux de hazard; 1708 yilda nashr etilgan va 1713 yilda qo'shimchalar bilan nashr etilgan) va Yakob Bernulli 18-asr boshlarida paydo bo'lgan "Taxminlar san'ati" risolalariga asoslanadi. (lat. Ars conjectandi; olim vafotidan keyin nashr etilgan, xuddi shu 1713 yilda). Ikkinchisi ehtimollik nazariyasi uchun juda muhim edi.

2.