Режа: Грин формуласининг татбиқлари. Биринчи тур сирт интеграли

2-ta’rifma-ketligi.Agar (S) sirtning har qanday (2) bo ‘linishlar ketma-ketligi
olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat ketma –ketlik nuqtalarni tanlab olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda,
hamma vaqt bitta I songa intilsa,bu I yig ‘indining limiti deb ataladi va u
(3)
Kabi belgilanadi.
Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.
3-ta’rif.Agar son olinganda ham ,shunday topilsaki,(S) sirtning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘linishi hamda har bir bo ‘lakdan olingan ixtiyoriy lar uchun

Tengsizlik bajarilsa , u holda I son yig ‘indining limiti deb ataladi va (3) kabi belgilanadi.
4-ta’rif.Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi chekli limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I esa ,f(x,y,z) funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi va u

Kabi belgilanadi.Demak ,

Endi birinchi tur sirt integralining mavjud bo ‘lishini ta’minlaydigan shartni toppish bilan shug ‘ulanamiz.
Faraz qilaylik fazodagi (S) sirt
z=z(x,y)
tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) sohada uzluksiz va hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.
1-teorema.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali

mavjud va

bo ‘ladi.
Isbot.(S) sirtning bo ‘linishini olaylik . uning bo ‘laklarini
bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi.
bo ‘laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz.

Ma’lumki, .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta nuqta
bo ‘ladi.Demak , formulaga binoan

bo ‘ladi.
O ‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Natijada yig ‘indi quydagi


Ko ‘rinishga keladi.
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig ‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o ‘zgartitib yozamiz:

(4)
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz :

Bunda

Ravshanki

Funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor
teoremasining natijasiga ko ‘ra olinganda ham shunday topiladiki,
(D) sohaning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘lishi uchun

bo ‘ladi.Unda



va demak

(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi

Esa

Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak , da integral yig ‘indi chekli limitga ega va


Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda da limitga o ‘tib topamiz.


Demak

Teorema isbot bo‘ldi.
Birinchi tur sirt intеgrallarining хоssalari. Yuqоrida kеltirilgan tеоrеma uzluksiz funktsiyalar birinchi tur sirt intеgrallarining ikki karali Riman intеgrallariga kеlishini kursatadi. Binоbarin bu sirt intеgrallar хam ikki karali Riman intеgrallari хоssalsri kabi хоssalarga ega buladi.