Reja. Ferma teoremasi

4. Koshi teoremasi

4-teorema (Koshi teoremasi). Agar kesmada va funksiyalar berilgan bo‘lib, 1) da uzluksiz; 2) intervalda va mavjud, hamda bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday nuqta topilib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot.  Ravshanki, tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi , shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar bo‘lsa, u holda funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror nuqtada bo‘lar edi. Bu esa da shartga ziddir. Demak, .

Endi yordamchi

funksiyani tuzaylik.

Shartga ko‘ra va funksiyalar da uzluksiz va intervalda differensiyalanuvchi bo‘lgani uchun birinchidan kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan intervalda

hosilaga ega.

So‘ngra funksiyaning va nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: . Demak, funksiya kesmada Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi. Shunday qilib,

va bundan (4) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. 

Isbotlangan (4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi.