Reja: Differensial tenglamalar

Mavzu: Birinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi. Klero tenglamasi
Reja:
1.Differensial tenglamalar.
2. Klero tenglmasi.

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni «umumiy yechimi» ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va boshqa ijtimoiy fanlarda qoʻllaniladi.Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).

Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular oʻzgaruvchilar yoki nomaʼlumlar deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi.
Tenglamalar ulardagi oʻzgaruvchilar soniga qarab nomlanadi. Masalan, bir oʻzgaruvchili tenglama, ikki oʻzgaruvchili tenglama, va hokazo. Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) Shotlandiyalik matematik Robert Recorde (1510-1558) oʻylab topgan.[2] U ikki bir xil uzunlikdagi parallel toʻgʻri chiziqlardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan.






Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa, birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish algoritmini bilamiz.
Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz.
Agar yoki lar va argumentlarga nisbatan chiziqli funksiyalar bo’lsa, tegishli differensial tenglama chiziqli deyiladi.
n-tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan yoki kanonik ko’rinishga keltirilgan n-tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamalarda noma’lum funksiya bitta bo’lib, tenglamada uning hosilalari ishtirok etadi.
Bu yerda n ta noma’lum funksiya va n ta tenglama qatnashadi. Shuning uchun bu sistema birgalikda yechiladigan sistema bo’lib, uning tartibi
Ga teng. Bu sistemani yechish uchun noqulay, shuning uchun uni quyidagicha qulayroq ko’rinishga keltiramiz. Barcha tenglamalardan larning yuqori tartibli hosilalariga nisbatan yechib,
Tenglamaga differensial tenglamaning kanonik sistemasi deyiladi.
Tenglamani yuqoridagidek soddalashtiramiz. Bu tengliklar yordamida sistemaning birinchi tenglamasini quyidagi ta tenglamaga almashtiramiz.
Sistemaning ikkinchi tenglamasini quyidagi ta tenglamaga almashtiramiz.
Shunday qilib, sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi faqat 1-tartibli hosilalar qatnashgan.
Sistemaga almashtiramiz. Bu sistema ta noma’lum va shuncha tenglamadan tashkil topgan bo’lib,undagi o’zgaruvchilarni qaytadan nomerlab chiqib, quyidagi muhim sistemaga bo’lamiz. Ga differensial tenglamalarning normal sistemasi deyiladi.
Demak, har qanday ko’rinishdagi sistemani ko’rinishga keltirish mumkin ekan,shuning uchun bundan keyin sistema bilan ish ko’ramiz.