Reja: Darajali qatorlar

Binomial qatorlar
m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:
(6)
Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=
Darajali qator

Tarif 1: Ushbu

(1)
yoki
(2)
ko’rinishdagi qatorga darajali qator deyiladi.
kompleks sonlar darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Agar (2) da desak, u holda (2) ko’rinishdagi qator (1) ko’rinishdagi qatorga keladi. Demak (1) ko’rinishdagi qatorni o’rganish yetarli.
Teorema 1: (Abel). Agar
(1)
darajali qator z ning qiymatida yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu qator

doirada absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra

sonli qator yaqinlashuvchi. Qator yaqinlashishning zaruriy shartiga ko’ra

bo’ladi.
Madomiki, ketma-ketlik chekli limitga ega ekan, unda bu ketma-ketlik chegaralangan, ya’ni shunday o’zgarmas M>0 son mavjudki, uchun

bundan (3)

Endi ushbu

qator bilan birga quyidagi

qatorni qaraymiz.
Ravshanki, qator yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki geometrik qator (3) ga ko’ra qator doirada yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan qator doirada absolyut yaqinlashuvchi. Teorema isbot bo’ldi.
Natija 1: Agar

darajali qator z=z₁ nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda qator sohada uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot: Berilgan darajali qator z=z nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsin. Unda bu qator z ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida ham uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki qator z ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror z=z qiymatida yaqinlashuvchi bo’ladigan bo’lsa, Abel teoremasiga binoan bu qator z=z nuqtada ham yaqinlashuvchi bo’lib qoladi. Bu esa qatorning z=z nuqtada uzoqlashuvchi deyilishiga ziddir. Demak, berilgan qator da uzoqlashuvchi. Natija isbot bo’ldi.