Reja: Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar

13- ta’rif. Agar elementlar uchun boʻlsa u holda elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.
14- ta’rif. Noldan farqli elementlardan tashkil topgan vektorlar sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
15- ta’rif. Agar ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib boʻlsa, u holda vektorlar sistemasi ortonormal vektorlar sistemasi deyiladi.
16- ta’rif. Agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi.
Ortonormallangan bazis uchun quyidagi munosabat oʻrinli:

2-teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli

3-teorema. Agar vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi.
Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz

Bu tenglikning ikkala tomonini ga skalyar koʻpaytiramiz:

Teorema shartiga koʻra boʻlgani uchun oxirgi tenglikdan ga ega boʻlamiz. Bundan ekani kelib chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab ekanligi isbotlanadi. Demak chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi.
4-teorema. Har qanday oʻlchovli haqiqiy Evklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud.
Isbot. Faraz qilaylik vektorlar sistemasi fazoning ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:
, deb olib keyingi qadamda

Teorema isbotlandi.