Reja birinchi tartibli differensial tenglamalarning maxsus yechimi

2. O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
Bir jinsii differensial tenglamalar

Birinchi tartibli ikkala qismini oddiy integrallash yo`li bilan yechiladigan sodda tenglama

y′ = f(x) (3)
ko`rinishga ega. Natijada, y = ∫f(x)dx va agar f(x) funksiyaning bosh-lang`ich funksiyalaridan biri F(x) bo`lsa, umumiy yechim y = F(x)+c ko`rinishda yoziladi.
(3) tenglamaning muhim umumlashmasi bo`lmish o`zgaruvchilari aj-raladigan differensial tenglama:
y′ = P(x) - q(y) yoki dy/dx = P(x) · q(y) (4)
shaklda yozilishi mumkin.
Noma`lum funksiya у ning qaralayotgan o`zgarish sohasida q(y) ≠ 0 shart bajariladi deb, (4) tenglamani o`zgaruvchilari ajralgan.

dy/q(y) = P(x)·dx

shaklda yozamiz va ikkala qjsmini integrallab,

∫dy/q(y) = ∫P(x)·dx

tenglikni olamiz. Q(y) funksiya l/q(y) funksiyaning, P(x) esa p(x) ning boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lsa, (4) tenglamaning umumiy in-tegrali:
Q(y) = P(x) + c
ko`rinishdan iborat.
Masala. y′ = x - y<sup>2</sup> tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qi-lingan bo`lsin. y ≠ 0 shart o`rinli deb, tenglama o`zgaruvchilarini aj-ratamiz.
dy/dx = x·y² yoki dy/y² = x·dx.
Tenglamani integrallab, -1/y = ½ - x² + с yoki
ko`rinishda umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo`qotilgan y = 0 yechimni ham qo`shish lozim. Bi-rinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb,
dy/dx = f(y/x) (5)
ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi.
(5) tenglamani yechish uchun noma`lum y(x) funksiyadan u(x) = y(x)/x funksiyaga o`tamiz. Unda,
у = x·u, dy/dx = u + x·du/dx
tengliklar o`rinli bo`lib, (5) tenglama:
u + x·du/dx = f(u) yoki du/(f(u) - u) = dx/x
ko`rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o`zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma`lum usulda yechiladi. Natijada,

u(x) funksiya topilgandan so`ng, y(x) = x·u (x) funksiyaga qaytiladi.
Masala.

tenglamani yeching.
Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki

bu yerda, u = y/x.
Noma`lum u fiinksiyaga nisbatan o`zgaruvchilari ajralgan:
yoki
tenglama hosil bo`ladi. Tenglamani integrallasak,
-1/2 · ln|-u<sup>2</sup> + 2u + 1| = ln|x| - 1/2 - ln|C|
tenglikni va so`ngra,
|-u² + 2u + l|^-l/2 = |x|· 1/ yoki x²·|- u² + 2u + l| = |C| yechimlarni va oxirida y = x - u funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda:
х² + 2ху - у² = С
umumiy integralni quramiz.