Reja Aniqmas Lеbеg intеgralining хоsilasi Tayanch so`zlar

Aniqmas Lеbеg intеgralining хоsilasi
2-teorema (Lebeg ). Jamlanuvchi funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada qiymati ga teng hosilaga ega
Isbot. 1-teoremaga asosan funksiya o`zgarishi chegaralangan funksiyadir. funksiy! esa deyarli har bir nuqtada chekli hosilaga ega. Endi (1) tengliknin` deyarli har bir nuqtada o`rinlli ekanligini funksiya manfiy bo`lmagan hol uchun ko`rsatish kifoya, chunki umumiy hol (3) tdnglik yordamida bu holga keltiriladi. manfiy bo`lmagani uchun unga monoton o`sib yaqinlashuvchi manfiy bo`lmagan pog`onali funksiyalar ketma-ketligi mavjud. Ravshanki, pog`onali funksiyaning aniqmas Lebeg integrali deyarli har bir nuqtada chekli . hosilaga ega va tenglik o`rinli

bo`lib bundan deyarli har bir nuqtada ushbu

tenglikka ega bo`lamiz.
3-teorema. segmentda aniqlangan funksiyaning aniqmas Lebeg integrali chegaralangan to`la o`zgarishga ega va

Isbot. segmentni nuqtalar bilan ixtiyoriy ravshda ta qismga bo`lib, har bir qismda qiymati songa teng bo`lgan pog`onali funksiyani tuzamiz. U holda ushbu

tengsizlikka ega bo`lamiz. Agar yarim segmentlardan eng kattasining uzunligi istagancha kichik qilib olinsa hamda son ushbu funksiyalar ketma-ketligini olib quyidagi funksiyani tuzamiz:



Ko`rinishda tanlansa, u holda yig`indi istalgancha yaqin qilinishi mumkin. Demak,
(4)
Bu tengsizlikda, haqiqatda , tenglik munosabati o`rinli ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi pog`onali

U holda funksiyaning tuzilishiga asosan deyarli bo`lgan nuqtalarda va deyarli bo`lgan nuqtalarda munosabatlarga ega bo`lamiz. Bundan

Tenglik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan , funksiyaning tuzilishiga asosan ushbu tengsizlik o`rinli asosan bundan va (4) dan tenglik kelib chiqadi.
2-teoremani kuchaytirish maqsadida quyidagi ta`rifni kiritamiz