Reja: a stereometriya aksiomalari

 To’g’ri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan shu to’g’ri chiziqqa paralel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin va faqat bitta.

Isbot. A-berilgan to’g’ri chiziq va A-bu to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta bo’lsin. A to’g’ri chiziq va A nuqta orqali a tekislikni o’tkazamiz. A tekislikda A nuqtada a to’g’ri chiziqqa paralel a₁ to’g’ri chiziqni o’tkazamiz. A ga paralel bo’lgan a₁ to’g’ri chiziqning yagona ekanini isbotlaymiz..

Faraz qilaylik, A nuqtadan o’tadigan va a to’g’ri chiziqqa paralel boshqa a₂ to’g’ri chiziq mavjud bo’lsin. a₁ a₂ to’g’ri chiziqlar orqali a₂ tekislik o’tkazish mumkin. a₂ tekislik a to’g’ri chiziq va A nuqta orqali o’tadi; demak, 14.1-teoremaga ko’ra u a tekislik bilan ustma-ust tushadi. Endi paralel to’g’ri chiziqlar aksiomasi bo’yicha a_1, a₂ to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi. Teorema isbotlandi.

Tekislikdagidek, to’g’ri burchak osti kesishgan ikki to’g’ri chiziq perpindikulyar to’g’ri chiziqlar deyiladi.

16.1-teorema. Perpindikulyar to’g’ri chiziqlarga mos ravishda bo’lgan kesishuvchi to’g’ri chiziqlarning o’zlari ham perpindikulyardir.

16 .2-teorema. Agar tekislikni kesib o’tuvchi to’g’ri chiziq tekislikdagi shu kesishish nuqtasidan o’tuvchi ikkita to’g’ri chiziqqa perpindikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq tekislikka perpindikulyar bo’ladi.

Isboti. a to’g’ri chiziq a tekislikni A nuqtada kesib o’tsin hamda A nuqta orqali o’tuvchi va shu tekislikdagi b va c to’g’ri chiziqlarga perpendikulyar bo’lsin. a to’g’ri chiziq a tekislikka perpindikulyar ekanini isbotlaymiz.

a tekislikda A nuqta orqali ixtiyoriy x to’g’ri chiziqni o’tkazamiz va uning a to’g’ri chiziqqa perpendikulyar ekanini ko’rsatamiz. a tekislikda A nuqtadan o’tmaydigan hamda b,c va x to’g’ri chiziqlarni kesib o’tuvchi ixtiyoriy to’g’ri o’tkazamiz. Kesishish nuqtalari B, C va X bo’lsin.

a to’g’ri chiziqda A nuqtadan turli tomonda AA₁ va AA₂ teng kesmalar ajratamiz. A₁CA₂ uchburchak teng yonli, chunki AC kesma teoremaning shartiga ko’ra balandlik bo’ladi va yasashga ko’ra (AA₁=AA₂) mediana bo’ladi. Shunga o’hshash A₁BA₂ uchburchak ham teng yonli. Demak, A₁BC va A₂BC uchburchaklar tengligining uchunchi alomatiga ko’ra teng.

A₁BC va B₂BC uchburchaklarning tengligidan A₁BX, A₂BX burchaklarning tengligining birinchi alomatiga ko’ra A₁BX va A₂BX uchburchaklarning tengligi kelib chiqadi. Bu uchburchaklarning A₁X va A₂X tomonlarning tengligidan A₁XA₂ uchburchak teng yonli ekan degan xulosa chiqaramiz. Shuning uchun uning XA medianasi bir vaqtda balandlik ham bo’ladi. Bu esa x to’g’ri chiziq a ga perpindikulyar demakdir. Teorema isbotlandi.

Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka tushirilgan pekpendikulyar deb berilgan nuqtani tekislikning nuqtasi bilantutashtiruvchi va tekislikka perpendikulyar to’g’ri chiziqda yotuvchi kesmaga aytiladi. Bu kesmaning tekislikda yotgan uchi perpendikulyarning asosi deyiladi. Nuqtadan tekislikgacha masofa deb shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligiga aytiladi.

Berilgan nuqtadan tekislikka o’tkazilgan og’ma deb bir uchi shu nuqtada,ikkinchi uchi tekislikda yotgan va tekislikka perpendikulyar bo’lmagan istalgan kesmaga aytiladi. Kesmaning tekislikda yotgan uchi og’maning asosi deyiladi. Bitta nuqtadan o’tkazilgan va og’maning asoslarini tutashtiruvchi kesma og’maning proeksiyasi deyiladi.