Регуляризация. Регулярлаштирувчи оила тушунчаси ва регулярлаштириш параметри

Регуляризация.
5. Регулярлаштирувчи оила тушунчаси ва регулярлаштириш параметри.


Таъриф 5.1 (А.Н.Тихонов) Фараз қилайлик классик маънода корректмас масала берилган бўлсин. Бу масалага нисбатан a параметрга боғлиқ масалалар оиласи регулярлаштирувчи оила деб аталади, агар қуйидаги икки шарт бажарилса:
1. Ҳар қандай >0 учун масалалар оиласи коррект;
2. Бошланғич масаланинг ечими мавжуд бўлган берилганларда масалалар оиласининг ечимининг кетма-кетлиги да бошланғич (нокоррект) масаланинг ечимига интилади.
параметр регулярлаштирувчи параметр деб аталади. Баъзи ҳолларда регуляризация параметри бутун сон ҳам бўлиши мумкин, у ҳолда иккинчи шарт бажарилиши талаб қилинади.
Энди биринчи тур оператор тенгламага нисбатан регулярлаштирувчи оила тушунчасини аниқлаймиз. Шундай қилиб, биринчи тур оператор тенглама берилган бўлсин

Фараз қилайлик (5.1) масаланинг ечими ягона ва М Х фазосининг қисм тўплами бўлсин.

{B a} чизиқли операторлар оиласини қараймиз


Таъриф 5.2 F дан Х га акслантирувчи {B a} (0
1) ҳар бир а, 0
2) барча х Х учун ****** (лимит норма маъносида) бўлса.
Энди тақрибий берилганлар бўйича регулярлаштирувчи оила ёрдамида (5.1) тенгламанинг тақрибий ечимининг қандай қуриш мумкинлигини кўрсатамиз.
(5.1) тенглама учун Ва регулярлаштирувчи оила қурилган деб фараз қилайлик.
(5.1) тенгламанинг ўнг томони * аниқлигида маълум, яъни * элемент маълум бўлиб,

бўлсин.
* тақрибий ечим сифатида оламиз, бу ерда а регулярлаштирувчи параметрнинг бирор қиймати.

ва (5.1) тенгламанинг х аниқ ечими орасидаги фарқни бахолаймиз.

бу ерда *** (5.1) тенгламанинг ечиш масаласи нокоррект эканлигидан қуйидаги шартни бажарилиши зарурлиги келиб чиқади.

(Акс ҳолда (5.1) тенгламани ечиш масаласи коррект бўлиб, *** бўлади).

**** да а нинг шундай ўзгариш қонунияти борки, унда қуйидаги йиғинди

нолга интилади.

Ҳақиқатан,

деб белгилаб кўрсатамизки

Фараз қилайлик, а>0 ихтиёрий етарлича кичик сон бўлсин.

***** эканлигидан ** мавжудки, барча *** ларда ушбу тенгсизлик бажарилади.
белгилаймиз. *** бўлганда ** функция *** тенгсизликни қаноатлантиради, бу эса (5.3)-ни исбот қилади.
Шундай қилиб, агарда (5.1) тенгламага регулярлаштирувчи оила қўрилган бўлса, у ҳолда тақрибий қийматлар бўйича берилган аниқликда тақрибий ечим қўриш мумкинлиги келиб чиқади. Берилганлар аниқлиги ** фиксирланганда *** эришадиган а параметрнинг қиймати (5.2) баҳо маъносида оптимал бўлади.
Регулярлаштириш эффективлиги кўп маънода регуляризация параметрини танлашга боғлиқ. Регулярлаштириш параметрини танлаш учун *** функцияларнинг аниқ кўринишини билиш ниҳоятда муҳимдир. ** катталигини аниқлаш ва баҳолаш қийин эмас. *** катталикни баҳолашда эса қаралаётган масаладан Тихонов бўйича корректлик талаб қилинади.