Referat fan: Chiziqli algebra va analitik geometriya 914-21-guruh Olimov Laziz Tolipovich Reja

914-21 guruh Olimov Laziz Toliovich
914

REFERAT


Fan: Chiziqli algebra va analitik geometriya

914-21-guruh Olimov Laziz Tolipovich

Reja

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsaviy usuli.

2. Matritsa rangini minorlar orqali topish usullari.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli

1. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
   

Ushbu ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ....  a_1nx_n  b₁,
^a x  a x  ....  a x  b ,
^ 21 1 22 2 2n n 2


^ ... ... ... ... ... ...

_^ a_n1x₁  a_n2 x₂  ....  a_nnx_n  b_n .
(1)

tenglamalar sistemada quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

^{ a}11 ^a12
^ a a
...
...
^a_1n   ^x₁   ^b₁ 
_a   _x   _b 

A  ^
21 22 2n _{, X  }
2 _{,
B }  ² 

^ ... ... ... ... ^{    }

^ a a
...
_a   _x   _b 

 n1 n2
nn   n  
n  _.

Bu yerda, ^{A } noma’lumlar oldida turgan koeffitsiyentlardan tuzilgan matritsa; ^{X }noma’lumlardan tuzilgan matritsa; ^{B } ozod hadlardan tuzilgan matritsa. U holda (1) tenglamalar sistemasini

koʻrinishda ifodalash mumkin.
AX  B
(2)

Faraz qilamiz, ^det
A  0
boʻlsin. U holda ^A matritsa uchun
^A1 teskari matritsa

mavjud. ^{AX
 B} tenglikning har ikkala tomonini
_A1
ga chapdan koʻpaytiramiz:

A^1AX  A^1B,
EX  A^1B,
X  A^1B.

Hosil boʻlgan
X  A^1B
ifoda chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli

bilan yechish formulasidan iborat.

1. 
   misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
   

_2x₁  2x₂  3x₃  5,
^ x  x  x  0,
^ 1 2 3
^ 3x  x  x  2.
 1 2 3

Yechish.
^{A, X , B} matritsalarni tuzib olamiz:

^ 2 2
3 ^
 _x1 
 ₅ 

     

A  _ 1 1 1 _
X  _ x_{2 }
B  _ 0 _

^ 3 1 1 ^
 _x 
 ₂ 

  _,
 ³  _,
  _.

Bundan, ^{det A  12  0.} Teskari matritsani topamiz:
1 1 1 1 1 1

A₁₁ 
 2
1 1 _,
A₁₂   _{3 1}  2,
A₁₃  _{3 1}
 4,

2 3 2 3 2 2
A₂₁   _{1 1}  5, A₂₂  _{3 1}  11, A₂₃   _{3 1}  4,

2 3 2 3 2 2

A₃₁ 
1 1
 1,
A₃₂   _{1 1}
 5,
A₃₃  _1
1  4,

_ 2 5 1_

A^1   ^{1 } 2 11 5^
₁₂  
^ 4 4 4 ^

Bundan:
  _.

_ 2 5 1_{ } 5 _{ }
10  0  2 _{ } 12 _{ } 1 _

X  A^1B   ^{1 } 2 11



5^  ^ 0 ^   ^{1 }



10  0 10 ^   ^{1 }



₀  _  ₀ 

₁₂    
₁₂  
₁₂    

^ 4 4
_4   ₂  
20  0  8 ^{ }
12 ^{ } 1 ^

         
x  1 x  0 x  1 ^{X } ^1;0;1t
Demak, ¹ , ² , ³ yoki .
Agar sistema matritsasining rangi tenglama noma’lumlari sonidan kichik bo’lsa ham uning yechimini teskari matritsa usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.

2. 
   misol. Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yeching:
   

_x₁  2x₂  3x₃  5x₄  2,
^2x  x  4x  x  3,
^ 1 2 3 4

_3x₁  3x₂  8x₃  2x₄  1,
_^2x₁  2x₂  5x₃ 12x₄  4
Yechish. Tenglamalar sistemasi matritsasi A va kengaytirilgan matritsasi ^{ A B}

_ 1 2 3
5 _
 1 2 3
5 2 

_{ }  
_{A  } 2 1 4 1 _{,  A B  } 2 1 4 1 3_

^ 3 3 8
2 ^
 3 3 8
2 1^

^ 2 2 5 12 ^{ } 2 2 5 12 4 ^
  _{ }
larning rangini topib

 1	2	3	5	2 	 1	2	3	5	2 
 2	1	4	1	3^	^0 5 2 11 7 ^   
 3	3	8	2	1^	 0	3	1	13	7 ^



2


^ 2 5
12


 
4 ^{ } 0 2



1 2 0 _

 1 2 3
5 2
  1
2 3
5 2 


^ 0 5



2 11
7 ^{ } 0 5

 

2 11
7 _

 


^ 0 0 1 32 14 ^{ } 0 0 1 32 14 ^


^ 0 0
1 32
14 ^{ } 0 0 0 0 0 _

^{r  A  r  A B  3} ekanligini koʻramiz. Uning minori
1 2 3
  2 1 4  8 18  24  9  32  12  1
3 3 8
noldan farqli. Shuning uchun toʻrtinchi tenglamani tashlab yuboramiz, qolgan

tenglamalarda ^x4
qatnashgan hadlarni oʻng tomonga oʻtkazamiz.
_x₁  2x₂  3x₃  2  5x₄ ,

^2x  x  4x  3  x ,
^ 1 2 3 4
^3x  3x  8x  1  2x .
 1 2 3 4
Bu sistemani teskari matritsa usuli bilan yechamiz. Avval asosiy matritsa teskarisini Gauss - Jordan usulida topamiz:

 1 2 3 1 0 0   1 2 3
1 0 0   1 7 0 8 0 3 

^ 2 1 4 0 1 0 ^  ^ 0 5
2 2 1 0 ^  ^ 0 1 0 4 1 2 ^ 

  

3

 


^ 3 8 0 0 1 ^{ } 0 3
 

 
1 3 0 1 ^{ } 0

3 1 3 0




1^

 1 0 0 20 7 11
_ 20 7 11_

^{  0 1 0 4 1 2 ,} A^1  ^ 4 1 2 ^
  _{ }

^ 0 0 1 9
3 5 ^
 9
3 5 ^

    _.

Tenglamalar sistemasining umumiy yechimni topish uchun bajaramiz:
X  A^1  B
amalni

_ 20 7 11_{ }
2  5x_{4
 } 10  71x_{4 }

X  ^ 4 1 2 ^  ^ 3  x ^  ^ 7 15x ^
   ⁴   ⁴ 
^ 9 3 5 ^{ } 1  2x ^{ } 14  32x ^
   4   4 
X  _30  71x ;  7 15x ; 14  32x ; x _^t , x  R

Javob:
4 4 4 4 4

^x4 ga ixtiyoriy qiymatlar berib
x₁,
x₂ , x₃
noma’lumlarning mos qiymatlarini

topamiz. Sistema cheksiz koʻp yechimga ega.

3. 
   misol. Quyidagi tenglamani yeching:
   

 _{2 1}    _{3 6 5 8
} 0 1_{ X }1 3_{  } 4 0_
     
Yechish. Tenglamaga quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

A  ^{ 0 1}, B  ^{1 3}, C
_{ } 4 0_

 _{2 1}  _{3 6} 1  _{5 8} 
      _.
U holda berilgan tenglama
A  X  B  C

koʻrinishni oladi.
Agar ^AXB ifodaning chap tomondan


_A1
va oʻng tomondan


_B1 _ga

koʻpaytirsak, hamda
A^1A  E,
EX  X ,
BB^1  E
_va XE  X
ekanligini hisobga

olsak quyidagi yechimga ega boʻlamiz:

1 ^{ 1}
1_{ } 4 0 _
 2 1 _

X  A^1CB^1  
  ^   ^{  1  }

² _ ^{2 0} _{ } ^{5 8} _ ^ 1  ₃ ^

_{1 } 1

8_

_ 2 1
  ₃
 
_ 5 _

  _{ }  ^

₁  _  ₆ 

² _ ^{8 0} _ ^ 1
_{ 3}   _{8 4} 

    _.
Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalarni yeching:

X 
_ 0 1_{ }1 3_{ } 4 0 _
 _{3 1}  _{3 2}  _{2 8} 
_ 0 1_{ } 2 3_{ } 4 0 _

X 
 _{5 1}  _{3 2}  _{2 5} 

₁₎       _{, 2)}       _,

 _{3 1}    _{2 5 2 1
} 2 1_{ X } 1 3_{  } 4 0_.
3)      

Agar sistemada ^{m  n}
_va r( A)  m

boʻlib,
r _ A_  r _ A B_

boʻlgan holda ham

teskari matritsa usulidan foydalanib uning yechimini topsa boʻladi.

2. 
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   

ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ....  a_1nx_n  b₁,
^a x  a x  ....  a x  b ,
^ 21 1 22 2 2n n 2


^ ... ... ... ... ... ...

_^ a_n1x₁  a_n2 x₂  ....  a_nnx_n  b_n .
(1)

ⁿ noma’lumli ⁿ ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi.

1. 
   bosqich. (1) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat.
   

Buning uchun,
^{a11  0} , deb (agar
a₁₁  0
boʻlsa, 1- tenglamani
a_i1  0
boʻlgan ⁱ -

tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni

• 
  ^ai1
  

^a11

ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama
^a11
ga koʻpaytirilib, ⁱ -tenglamaga qoʻshiladi.

Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab
^x1 noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni

^{n  1} marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil qilinadi:

_ x₁  a₁₂ x₂  a₁₃ x₃  ...  a_1n x_n  b₁,
^ x  a x  ...  a x  b ,
^ 2 23 3 2n n 2


^ ...................................................
_^ a_nnx_n  b_n .

2. 
   bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning
   

oxirgi tenglamasidan
^xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan
^xn1

topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan
^x1 topiladi.

Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi.
Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli, deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz:
5-misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini toping.
_ 2x₂  x₃  7,
^ x  x  3x  2,
^ 1 2 3

^3x  2x  2x
 10.

 1 2 3

Yechish. Dastlab ikkinchi va uchinchi tenglamadagi
^x1 noma’lumni yoʻq

qilinadi va keyin
^x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat ^x3

noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan boshlaymiz:
_ x₁  x₂  3x₃  2,
^ 2x  x  7,
^ 2 3

^3x  2x  2x
 10

 1 2 3

2-tenglamada
^x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3-tenglamadagi

^x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga

qoʻshish orqali bajariladi.


_x₁  x₂  3x₃  2,
^ 2x  x  7,


^ 5x
2 3
 11x

 4.



Keyingi bosqichda 2-tenglamani aylantiramiz.

2 3
1
² ga koʻpaytirib, ^x2
ning koeffitsiyentini 1 ga

_x₁  x₂  3x₃  2,
 ^{1 7}


_ x₂  ₂ x₃   ₂ ,
_ ^{5x2  11x3  4.}
Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani -5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga

qoʻshamiz. ^x2
ni yoʻqotamiz.


x₁  x₂  3x₃  2,

 ^{1 7}


_ x₂  ₂ x₃   ₂ ,


 ²⁷ _{x } ²⁷ _.
^ 2 ³ 2
2

Soʻng, oxirgi tenglamani



²⁷ ga koʻpaytirib
x₃ 1
qiymatni topamiz. Bu

qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib,
^{x2  3} qiymatni hosil qilamiz.
x₃ 1 _va

^{x2  3} qiymatlarni birinchi tenglamaga qо’yib qilib, sistema yagona ^{2;3;1} yechimga ega.
^{x1  2} qiymatni olamiz. Shunday

6. 
   misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
   


_2x₁  x₂  4x₃  1,
_3x₁  2x₂  x₃  9,
^ x  4x  2x  4.
 1 2 3
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib yechimni topamiz:

  
_2x₁  x₂  4x₃  1,
_ x₁  4x₂  2x₃  4,
_x₁  4x₂  2x₃  4,

_3x₁  2x₂  x₃  9,  _2x₁  x₂  4x₃  1,  _ 9x₂  9,
^ x  4x  2x  4 ^3x  2x  x  9 ^ 14x  7x  21.

 1 2 3
 1 2 3
 2 3

_ x₁  4x₂  2x₃  4,
 ^ x  2x  3,

^ 3 2


 _x2

 1.

x₂ 1
qiymatni ikkinchi tenglamaga qо’yib,
^{x3  1}qiymatni hosil qilamiz.

x₂ 1 _va
^{x3  1}qiymatlarni birinchi tenglamaga qо’yib
^{x1  2} qiymatni olamiz.

Shunday qilib, sistema yagona ^{2;1;1}
yechimga ega.

Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko’p bo’lsa ham, ya’ni sistema birgalikda bo’lib aniq bo’lmasa ham uning yechimini Gauss usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.

6. 
   misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
   

_x₁  x₂  2x₃  x₄  4,
^x  x  x  x  10,
^ 1 2 3 4

^7x  2x  8x  6x
 44,

_ 1 2 3 4
_^5x₁  2x₂  5x₃  6x₄  30.
Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz

qoldirib, qolganlaridan ketma-ket
^x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda

ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan
^x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi

qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan
^x3 noma’lumni yoʻqotamiz.

Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish olib boramiz:

 1 1 2
1 4   1
1 2
1 4   1
1 2
1 4 




^ 1 1 1 1
10 ^{ } 0 2

 

1 2
6 ^{ } 0 2

 

1 2 6 ^

^ 7 2 8 6 44 ^{ } 0 9 6 1 16 ^{ } 0 0 3 16 22 ^
 5 2 5 6 30 ^{ } 0 7 5 1 10 ^{ } 0 0 3 16 22 ^
     
Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning chapdan
oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik. Endi ^x4
erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi.
_x₁  x₂  2 x₃  x₄  4,  x₁  8x₄  34 / 3
^{ 2 x  x  2 x  6,   x  }^{11x  2} ^{/ 3 
} 2 3 4 ^ 2 4
^{ 3 x}₃ ^{16 x}₄ ^{ 22 x3  }^{16x4  22} ^{/ 3}

^8x
^ 
_ 34 _;11x₄  2 _;16x₄  22 _{; x , x}





 R.

 4 _{3 3 3} 4  4
Javob: ^{ }
Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usuli
Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss - Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal
koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan ^{ A B} matritsasi quriladi. Yuqorida
keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi.

Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss - Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:
_ A B_ ~ _E X ^ _
.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni
ketma-ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi-yechimlar ustuni quriladi.

6. 
   misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching:
   

_x₁  x₂  2x₃  3x₄  1,
^3x  x  x  2x  4,
^ 1 2 3 4
^2x  3x  x  x  6,
_ 1 2 3 4
^_x₁  2x₂  3x₃  x₄  4.
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffitsiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz:

 1 1 2 3

1   1 1 2 3
 
1   1 1 2 3 1 
  

_ 3 1 1 2 4 _{  } 0 4 7
11 7 _{  } 0 1 1 4 5_{ }

 


^ 2 3 1 1 6 ^{ } 0 1
5 7 8 ^{ } 0 1 5 7 8 ^



 
^ 1 2 3
1 4 ^{ } 0 1 1
4 5 ^{ } 0 4 7 11 7 _

 1 0 1 7

6   1 0 1 7
 
6   1 0 0
 
2 3 


_{ } 0 1 1 4 5_{  } 0 1 1
4 5_{  } 0 1 0 13 14 _{ }

^ 0 0 6 3 3 ^{ } 0 0 1 9 9 ^{ } 0 0 1 9 9 ^
     

_ 0 0 3 27 27 _{ } 0 0 2 1
1 _{ } 0 0 0
17 17 _

 1 0 0 2 3   1 0 0 0 1
   
_{ } 0 1 0 13 14 _{  } 0 1 0 0 1_
^ 0 0 1 9 9 ^{ } 0 0 1 0 0 ^



1

 


^ 0 0 0 1 1 ^{ } 0 0 0 1 ^