Речной гидродинамики

Часть II. Моделирование практических задач речной гидродинамики
109

---

Потребность в такого рода интерполяционных алгоритмах возникает в 
ряде научных и прикладных задач, в частности, в задачах компьютерной 
графики; вычислительной гидродинамике и гидравлике (например, расче-
ты течений на неструктурированных сетках или различными методами ча-
стиц); при обработках массивов данных в картографии и геодезии и др.
В п.4.4.1 дан обзор основных методов интерполяции и их свойств, в 
п.4.4.2 изложен и исследован предлагаемый алгоритм, в п.4.4.3 на основе 
численных расчетов проведено сравнительное исследование различных 
способов интерполяции.
4.4.1. Формулировка методов интерполяции и их свойств
Будем рассматривать такие алгоритмы решения задачи о вычислении в 
заданной точке 
x
0 
в 
E
n
значения 
f
0
некоторой функции по ее значениям {
f
k
}, 
заданным на фиксированной системе точек {
x
k
} в
E
n
, которые сводятся тем 
или иным способом к окончательной формуле вида
(4.4.1)
где 
α
m 
– коэффициенты интерполяции, зависящие от расположения систе-
мы точек и не зависящие от 
f
; 
M
– число точек, по которым производит-
ся интерполяция функции 
f
(назовем их соседями 
x
0
). Дополнительным 
требованием на формулу (4.4.1) и коэффициенты α является точное вы-
полнение этого равенства для случая линейной функции 
f 
(интерполя-
ция первого порядка). При этом условие 
обеспечивает точное 
выполнение равенства (4.4.1) для функции 
f
, равной константе. Условия 
α
m 
≥
 0
 
и
обеспечивают ограниченность нормы результата интер-
поляции: ||
f
0
|| ≤ max ||
f
m
||.
Различные алгоритмы интерполяции отличаются способами выбора ко-
эффициентов 
α
m 
и методами выбора соседей для данной точки 
x
0 
в 
E
n
. Среди 
множества известных методов особое место занимает интерполяция Сиб-
сона [Sibson, 1980, 1981], которая, помимо перечисленных выше свойств, 
обеспечивает также единственность и непрерывность результатов интерпо-
ляции и их устойчивость относительно малых возмущений исходных дан-
ных. Далее описывается «несибсоновский» метод интерполяции на произ-
вольном наборе точек, обладающий такими же свойствами.
Проблема единственности и непрерывности интерполяции связана с 
тем, что одним из подходов к интерполяции функций является разбиение 
пространства непересекающимися симплексами в 
E
n
: треугольниками при 
n
= 2, тетраэдрами при 
n
= 3 и т.д., с вершинами симплексов, соответствен-
но, в данной системе узлов {
x
k
}. Далее интерполируемая функция внутри 
симплекса приближается гладкой, например линейной, функцией. Это по-
зволяет построить 
f
0 
в любой точке 
x
0
. Корректное разбиение простран-
ства на треугольники (или симплексы в 
E
n 
), называемое триангуляцией, 
110