Речной гидродинамики

Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Строгое определение нового метода дадим в следующем виде. Пусть 
{x
i
}, 
i
= 0,1,..., 
N
– отдельные точки евклидова пространства 
E
n
. Пусть 
T
k
= {
x
∈
E
n
: 
d
(
x
, 
x
k
) ≤ 
d
(
x
, 
x
m
), 
m
≠ 
k
} и 
t
km
= {
x
∈
T
k
∩ 
T
m
, 
m
≠ 
k
(d – евклидо-
во расстояние), 
T
k
– ячейка Дирихле для x
k
, 
t
km
может быть пустым множе-
ством. Если 
d
-1
(
x
k
, 
x
m
) < + ∞, тогда имеет место равенство 
Σ
m
≠
k
x
m
|
t
km
| / 
d
(
x
k
, 
x
m
) = 
x
k
{
Σ
m
≠
k
|
t
km
| / 
d
(
x
k
, 
x
m
)
}
, где |·| обозначает меру Лебега в 
E
n
-1
. При этом в 
использованных ранее обозначениях 
α
m
= [|
t
om
| / 
d
(
x
0
, 
x
m
)][
Σ
|
t
om
| / 
d
(
x
0
, 
x
m
)]
-1
(запись 
α
m
для точки 
x
0
).
Докажем свойство линейности сформулированного метода интерполя-
ции для случая 
E
n
. Рассмотрим аналогично линейную функцию 
f
(
x
) в 
E
n 
и 
покажем, что (4.4.2) выполнено для нее тождественно. Поместим сначала 
x
0 
(для определенности) в точку 
x
= 0 и сдвигом на постоянную (это можно 
сделать, так как 
) добьемся, чтобы f(0) = 0. Тогда доказываемое 
свойство линейной интерполяции принимает вид:
(4.4.3)
Для доказательства введем в рассмотрение I
p
– единичный орт с номе-
ром 
p
в ортогональной системе координат, введенной в 
E
n
, где 
р
= 1, 2, ..., 
n
. 
Рассмотрим теперь скалярный поток постоянного векторного поля, равного 
I
p
, через замкнутую поверхность 
S
0
многогранника Дирихле, окружающего 
точку 
x
= 0 и имеющего объем 
V
0
. По теореме Остроградского-Гаусса,
(4.4.4)
Используя (4.4.4), получаем следующую цепочку тождеств:
(4.4.5)
Тем самым (4.4.3) доказано (при доказательстве использовано |
x
m
| = 2
h
m
).
Другие свойства интерполяции, такие, как однозначность и непрерыв-
ность ее коэффициентов от координат узлов, следуют из ее определения.
4.4.3. Сравнительное исследование алгоритмов интерполяции
Ниже приводятся результаты сравнительного численного анализа с при-
менением трех способов интерполяции: графики на основе триангуляции 
Часть II. Моделирование практических задач речной гидродинамики
113

---

Делоне помечены через 
D
, с помощью интерполяции Сибсона – через 
S
и 
несибсоновской – через 
nS
.
Для применяемой триангуляции разбиение производилось один раз вна-
чале и далее не менялось. При этом для интерполяции на основе триангу-
ляции Делоне рассматривалось, в какой из треугольников попадала точка 
х
0
, и далее производилась соответствующая линейная интерполяция. При 
интерполяции по ячейкам Дирихле всегда производился расчет нового раз-
биения Дирихле-Вороного при добавлении или любом перемещении точки 
х
0
. Примеры сеток из ячеек Дирихле показаны на Рис. 4.4.1.
Первая группа тестов была осуществлена на примере гладких функций, 
которые задавались в узлах с Рис. 4.4.1. При этом оказалось, что на гладких 
функциях все методы дают практически совпадающие, эквивалентные ре-
зультаты, визуально неразличимые.
Поэтому далее приводятся результаты для функций, сильно отличаю-
щихся своими значениями в узлах сетки, где характерная разница между 
методами более заметна. На Рис. 4.4.2а приведены типичные графики про-
интерполированной функции, заданной на узлах с Рис. 4.4.1б вдоль гори-
зонтальной штриховой линии, соответственно, тремя методами интерполя-
ции. В качестве базовой функции использовалась функция типа ступеньки. 
А именно, на сетке с Рис. 4.4.1б была задана функция, равная нулю при
x
< 10 и равная 1 при 
x
> 10.
На Рис.4.4.2б в более крупном масштабе изображен верхний фрагмент 
Рис. 4.4.2а. Из Рис.4.4.2 следует, что 
nS 
и 
S
дают более гладкое воспол-
нение, чем 
D
, к тому же эти методы обеспечивают непрерывную зависи-
мость от начальных данных. При этом по 
S
получаются чуть более гладкие 
результаты, чем по 
nS
.
Рис. 4.4.2.
Сравнение различных методов интерполяции на горизонтальном разрезе
На Рис. 4.4.3а изображен фрагмент восполнения этой функции вдоль 
вертикального сечения, также изображенного пунктиром на Рис. 4.4.1б. Се-
чение бралось по границе разрыва. Видна большая гладкость 
nS
и 
S
, к тому 
же эти методы обеспечивают непрерывную зависимость от начальных дан-
ных, в то время как результаты, полученные по 
D
, как видно, дают сильно 
отличающуюся интерполяцию в соседних точках при малом перемещении 
114