Речной гидродинамики

Часть II. Моделирование практических задач речной гидродинамики
111

---

Рис. 4.4.1.
Примеры разбиения области на ячейки Дирихле
При этом коэффициенты 
α
m 
полагаются пропорциональными площа-
дям (объемам) многоугольников (многогранников), которые вырезаются из 
ячейки Дирихле для
x
0
соответствующими ячейками Дирихле, принадлежа-
щими соседям 
x
0
и построенными в отсутствие 
x
0
.
Строгое определение интерполяции Сибсона дается в следующем виде. 
Пусть {
x
i
}, 
i
= 0, 1,..., 
N
, – отдельные точки евклидова пространства 
E
n
. 
Пусть 
T
k
= {
x
∈
E
n
: 
d
(
x
, 
x
k
) < 
d
(
x
, 
x
m
), 
m
≠ 
k
} и 
T
km
= {
x
∈
E
n
: 
d
(
x
, 
x
k
) < 
d
(
x
, 
x
m
) < 
d
(
x
, 
x
l
), 
l
≠ m
k
}
(
d
– евклидово расстояние, 
T
k
– ячейка Дирихле для x
k
). Тогда
T
k
= 
U
m
≠
k
T
km
(
T
km
может быть пустым множеством). Если 
|T
k
|
< + ∞, тогда 
имеет место Σ
m
≠
k
|T
km
|x
m
 = |T
k
|x
k
, где |·| обозначает меру Лебега в 
E
n
. Таким 
образом определенные 
|T
km
|
называются коэффициентами (координатами) 
Сибсона. С их свойствами, формальным определением и обобщениями 
можно познакомиться в [Sibson, 1980, 1981]. При этом в использованных 
ранее обозначениях 
α
m 
вводятся как 
α
m
= |T
0
m
|/|T
0
|
(запись 
α
m
для точки 
x
0
).
4.4.2. Несибсоновская (гармоническая) интерполяция и ее свойства
Метод интерполяции основан на определении соседей с помощью разби-
ения Дирихле. Пусть точка 
x
0
принадлежит многоугольнику (многогранни-
ку) Дирихле с числом сторон (граней), равным 
M
. Обозначим длины сторон 
многоугольника (или площади граней в трехмерном случае) через 
s
m
, 
m
= 1, 
2, ..., 
М
, а высоты, опущенные из 
x
0 
на 
s
m
(или расстояние от 
x
0
до 
m
-й грани), 
– через 
h
m
. Тогда (4.4.1) принимает вид:
(4.4.2)
Такой способ определения коэффициентов 
α
m 
проще и экономичнее, чем 
в методе Сибсона, как не требующий вычисления площадей частей пересе-
чения многоугольников в двумерном случае или трудоемкого вычисления 
объемов частей пересечения многогранников в трехмерном случае и т.д.
112