Речной гидродинамики

Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
31

---

Исходная математическая модель состоит из общего для двух слоёв урав-
нения неразрывности, двумерных уравнений движения для верхнего слоя и 
одномерного уравнения движения в русле для нижнего слоя:
В этих уравнениях 
q
= 
h
u
– вектор удельных расходов воды в верхнем 
слое; 
f
S
, 
f
F
, 
f
R
, 
f
W
– векторы касательных напряжений на границе раздела 
верхнего и нижнего слоев, на поверхности поймы, на дне русла и на сво-
бодной поверхности воды соответственно, причем 
f
S
= 0 вне русла, а 
f
F
= 0 
вне поймы; 
Q
– полный расход в бровках русла; 
s
– координата вдоль рус-
ла; 
s
– единичный вектор вдоль русла; 
ω
– площадь поперечного сечения 
русла в бровках; 
U
= 
Q
/
ω
– средняя скорость воды в бровках русла (
U
= 
U
s
); 
B
– ширина русла в бровках; 
χ
– смоченный периметр русла в бровках;
H
= 
ω
/
B
– средняя глубина русла в бровках; 
q
0
– осадки. Последнее слагае-
мое в левой части уравнения неразрывности (1.3.9) отлично от нуля только 
в границах русла, а величины 
H
, 
ω
становятся зависящими от 
z
при падении 
отметок свободной поверхности в русле ниже его бровок.
Заметим, что в уравнениях (1.3.10), (1.3.11) не учтен конвективный пе-
ренос импульса между слоями. Это сделано для упрощения записи уравне-
ний, поскольку далее в диффузионной модели конвективные члены будут 
отброшены.
Неизвестными в уравнениях (1.3.9)–(1.3.11) являются функции 
z
, 
q
, 
Q
. 
Для замыкания системы достаточно определить касательные напряжения 
на верхних и нижних поверхностях каждого из двух слоев. Касательные на-
пряжения на дне русла, на поверхности поймы и на свободной поверхности 
воды принимаются по формулам с квадратичным законом сопротивления:
где