Речной гидродинамики

1.3.1. Одномерные уравнения мелкой воды (уравнения Сен-Венана)
Рассмотрим водоток, геометрия которого удовлетворяет соотношению
L
B
, где 
L
– длина водотока по оси, выбранной вдоль преимущественного 
направления течения; 
B
– характерный поперечный размер водотока. Будем 
считать ось водотока прямолинейной или слабо искривлённой, предпола-
гая, что 
r
B
, где 
r
– радиус кривизны оси.
Будем также считать, что потери импульса, связанные с внезапными 
расширениями русла, внезапными перепадами отметок дна, боковым при-
током, а также с возникновением отрывных водоворотных зон малы по 
сравнению с потерями из-за трения о дно либо уже учтены в коэффици-
енте гидравлического трения специальным образом (более подробно соот-
ветствующие условия оговорены в работах [Кюнж, Холли, Вервей, 1985; 
Лятхер, Милитеев, 1981]). Примем, что диффузионным переносом примеси 
в потоке можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом (со-
ответствующие достаточные условия получены в [Лятхер, Милитеев, 1981; 
Милитеев 1982]), а концентрация примеси мала и не влияет на гидродина-
мику течения.
Введем декартову систему координат: ось 
s
направим вдоль русла с 
малым наклоном 
i
= 
b
,
s
к горизонту, равным серединному уклону свобод-
ной поверхности воды (или поверхности дна) в русле на рассматриваемом 
участке; ось y лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярна оси 
s
. 
28
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Осреднение уравнений мелкой воды (и конвективного переноса примеси) 
по ширине русла приводит к следующей одномерной модели:
здесь 
Q
(
s,t
) – суммарный объемный расход воды и примеси в русле; 
U
= 
Q
/
ω
– средняя скорость течения; ω – площадь живого сечения потока; 
y
л
, 
y
п
– координаты урезов на левом и правом берегу соответственно; 
λ
– ко-
эффициент гидравлического трения; 
R
= 
ω
/
χ
– гидравлический радиус;
χ
– смоченный периметр дна водотока; 
F
– удельная сила (на единицу дли-
ны), отнесенная к плотности, обусловленная непризматичностью русла; 
q
– 
удельный (на единицу длины русла) расход бокового притока;
S
– объемная 
концентрация примеси в потоке; 
S
н
– равновесная концентрация примеси 
(концентрация насыщения); 
K
– коэффициент неконсервативности примеси 
(при 
K
= 0 примесь полностью сохраняется в потоке).
Для замыкания системы (1.3.1) необходимо задать вид функций 
λ
, 
F
, 
K
, 
S
н
, а также связи 
R
и 
h 
с
 ω
, которые определяются формой русла.
• Коэффициент гидравлического трения примем по Маннингу
λ
= 2
gn
2
R
-1⁄3
, (1.3.2)
где 
n
= 
n
(
s
) – коэффициент шероховатости поверхности русла.
• Потерю импульса из-за непризматичности русла [Лятхер, Милитеев, 
1981; Милитеев 1982] представим в виде
(1.3.3)
в предположении, что функция 
b
(
s
, 
y
) является однозначной функцией 
s
и 
• Для формы русла рассмотрим следующие схематизации.
а) Прямоугольное в поперечном сечении русло.
В этом случае ширина 
русла по верху 
B
= 
B
(
s
), отметка дна 
b
= 
b
(
s
) и совпадающая со средней ло-
кальная глубина 
h
= 
h
(
s
, 
t
) не зависят от поперечной координаты 
y
;
ω
= 
B
· 
h
,
R
= 
ω 
⁄ (
B
+ 2
h
),
h
= 
h
ср
.
(1.3.4)
б) Русло произвольного поперечного сечения.
В этом случае дно в сече-
нии предполагается заданным по точкам парами чисел (
y
l
, 
b
l
), 
l
= 1,...
m
по-
следовательно от левого берега к правому. Тогда при известном уровне сво-
бодной поверхности 
z
нетрудно найти 
ω
(например, по правилу трапеций), 
а также 
χ
как сумму длин расстояний между точками (
y
l
, 
b
l
) от левого уреза 
до правого.
(1.3.1)