Разработка математической модели информационной системы учета автотранспорта

Операции ввода, корректировки (редактирование), поиска и удаления записей в реляционной модели требуют задания имени отношения (матрицы) и формирования значений атрибутов (столбцов) картежей обязательное задание уникального ключа (элемента матрицы или группы элементов).[4]. Аппарат нормализации и установки связей позволяет осуществлять синхронные действия при работе с входной информацией и аналитикой бухгалтерских счетов и соответствующими справочниками.
Первостепенной задачей при рассмотрении вопроса реализации матричной модели ИСУРА в реляционной аналитике является описание технологии бухгалтерского учета, начиная с записи отдельной бухгалтерской проводки и до получения оборотно-сальдового баланса и другой типовой отчетности. Специфицируем некоторые понятия:
Определение 1. Квадратная матрица размером , у которой на пересечении строки, соответствующей счету Х и столбца, соответствующего счету Y, находится единица, а все остальные элементы равны нулю называется матрицей-корреспонденцией [5]
Матрицу-корреспонденцию обозначим , ее элемент, равный единице, (прописная Е – матрица, строчная – ее элемент).
В соответствии с определением все остальные элементы
, для всех IX и J  Y.
Максимальный размер матрицы-корреспонденции определяется мощностью рабочего Плана счетов, т.е. количеством счетов, содержащемся в нем. Для синтетических счетов, содержащихся в плане, размер матрицы будет 97 х 97, а с субсчетами и произвольно устанавливаемыми субконто размер матрицы корреспонденций будет значительно большим. Для формальной математической модели это не важно. Не все возможные корреспонденции являются допустимыми или корректными. В связи с этим будем считать, что числовое значение некорректной корреспонденции равно нулю, и матрица-корреспонденция для нее нулевая , т. е. состоит исключительно из нулей.
Определение 2. Бухгалтерская проводка – это произведение суммы проводки на ее корреспонденцию: [5] .
– корреспонденция счетов X и Y;
s – сумма проводки, соответствующая i-ой записи в журнале на дату t, не равная нулю, если операция отражена в журнале и нулю в противном случае.
Определение 3. Матрица-проводка это произведение суммы проводки на ее матрицу-корреспонденцию:
,
где – матрица-проводка, соответствующая i-ой записи на момент времени – дату t;
матрица корреспонденция.
Тогда операции

• 
  создания /уничтожение объекта, проводки сводятся к созданию /уничтожению матрицы проводки.
  
• 
  редактирование проводки к изменению матрицы проводки, суммы или матрицы - корреспонденции,
  
• 
  фиксацию проводки в качестве части операции, к суммированию матриц - корреспонденций
  

Для получения матрицы сводных проводок достаточно просуммировать матрицы-проводки за отчетный период:
;
или суммируются записи принадлежащие i интервалу т. е. для всех моментов
;
времени t таких, что .
Просуммировав матрицы-проводки, получим сводную матрицу проводок или шахматный оборотный баланс:
Матрица сводных проводок за период может быть записана :
;
или

где суммирование ведется по всем возможным корреспонденциям.
Матрица-проводка представлена как линейная комбинация матриц-корреспонденций, причем коэффициентами этой линейной комбинации являются численные значения проводок в денежных единицах. При этом совокупность неповторяющихся матриц-корреспонденций, [5,8] является базисом разложения матрицы-проводки на ее линейные составляющие, где числовыми коэффициентами являются значения проводок в денежном выражении.
Суммируя матрицы-проводки за рассматриваемый период, получаем матрицу сводных проводок - шахматный баланс с необходимыми итогами.
Обобщим полученный на примере результат, начало отчетного периода, конец отчетного периода, тогда матрицы соответственно дебетовых и кредитовых оборотов , .
Вычислим разность матриц оборотов, с точки зрения бухучета это есть сводный шахматный баланс [8]
.
Исследуем свойства сальдовой матрицы , т.е. свойства сводного шахматного бухгалтерского баланса:
является матрицей квадратной, докажем это утверждение:
является разностью матриц дебетовых и кредитовых оборотов.
В конкретной бухгалтерии имеется один единственный план счетов и его стета-субсчета определяют количество как строк, так и столбцов в , а значит по определению квадратной матрицы [9] является матрицей квадратной.
Докажем, что является матрицей, зеркально симметричной:
Обозначим: элемент матрицы – ;
элемент матрицы – ;
элемент матрицы – ;
По определению транспонированой матрицы [9]
;
тогда вычислим для всех :
,
тогда подставив предыдущее равенство, получим:
,
для всех ; аналогично представим:

сравним :
и
получим:
;
тогда определению зеркально симметричной матрицы [9] является зеркально симметричной.
Для элементов главной диагонали справедливо ; тогда:
;
т.е. является матрицей с нулевым следом.
Вывод: В общем виде доказано, что является матрицей квадратной, зеркально симметричной с нулевым следом, [9] следовательно:

1. 
   Элементы сальдовой матрицы остатков зеркально симметричны, т.е. симметричные элементы равны по модулю.
   

Иначе говоря, для любого остатка в шахматном бухгалтерском балансе всегда найдется зеркально симметричный к нему остаток , что справедливо :

2. 
   Элементы главной диагонали сальдовой матрицы равны 0. симметричные элементы равны по модулю.
   

Из утверждений a) и b) следует:

3. 
   что сумма элементов сальдовой матрицы всегда равна нулю.
   

– сумма всех элементов над главной диагональю;

– сумма всех элементов под главной диагональю;
Тогда или вследствие симметрии матрицы;

– сумма всех элементов главной диагонали;
как сумма нулевых элементов; тогда сумма всех элементов сальдовой матрицы:
Тогда общую сумму элементов сальдовой матрицы остатков в шахматном бухгалтерском балансе, можно представить:


Таким образом в общем виде доказано утверждение что сумма элементов сальдовой матрицы остатков в шахматном бухгалтерском балансе всегда равна нулю. То есть средствами матричной алгебры, научно обоснована сходимость бухгалтерского баланса.
Для получения остатков текущих остатков необходимо к входящему сальдо прибавить разность оборотов [4], в матричном виде

для января месяца.
– матрица остатков на конец декабря прошлого года, начало января
– матрица дебетовых оборотов за январь;
– транспонированная к ней матрица кредитовых оборотов за январь;
– матрица остатков на конец января – начало февраля

для февраля месяца.
– матрица остатков на конец января, начало февраля
– матрица дебетовых оборотов за февраль;
– транспонированная к ней матрица кредитовых оборотов за февраль;
– матрица остатков на конец февраля – начало марта
И так далее, для следующего периода и следующих за ним: исходящая сальдовая матрица становится входящей, а на основе матрицы сводных проводок рассчитывается исходящая сальдовая матрица нового периода.
За некоторый произвольный период времени получаем следующую общую запись основного матричного уравнения бухгалтерского учета:

– матрица входящего сальдо остатков на начало периода ;
– матрица остатков на конец периода ;
– матрица дебетовых оборотов за период ;
–транспонированная к ней матрица кредитовых оборотов за тот же период;
При этом период: j = 0,1,2,3.... 11;
k = 0,1,2,3.... 11,12;
Из изложенного выше можно сделать выводы:

• 
  обоснована возможность получения оборотно-сальдовой матрицы бухгалтерского баланса в алгебраической форме в виде векторного оборотно-сальдового уравнения:
  

– матрица входящего сальдо остатков на начало периода ;
– матрица остатков на конец периода ;
– матрица дебетовых оборотов за период ;
–транспонированная к ней матрица кредитовых оборотов за тот же период;
При этом период: j = 0,1,2,3.... 11;
k = 0,1,2,3.... 11,12;
В развернутом виде:

	В Д-т сч.	С К-та счетов
				и т.д.
				…
				...
	и т.д.	…	…	…	…
				....

• 
  средствами матричной алгебры научно обоснована сходимость бухгалтерского баланса, что для информационной системы учета автотранспорта среднего и малого бизнеса является основной и ведущей задачей.
  

На практике входящие и исходящие остатки задаются в виде векторов-столбцов, а поэтому возникает необходимость перехода к векторной форме основного уравнения бухгалтерского учета, точнее, к записи в его форме обычного оборотно-сальдового баланса.
Пусть входящие остатки последнего периода представлены в виде вектора-столбца. Из матрицы сводных проводок путем ее умножения на специальный вектор-столбец , у которого последний – элемент равен 1, а все остальные равны нулю, выделяем вектор-столбец дебетовых оборотов

	В Д-т сч.	С К-та счетов
				и т.д.
				…
				...
	и т.д.	…	…	…	…
				....

.
Из транспонированной матрицы сводных проводок S' путем ее умножения на специальный вектор-столбец E _k+1 аналогично выделяем вектор-столбец кредитовых оборотов:
.
Построена математическая модель информационной системы учета автотранспорта, которая включает в себя:

• 
  Описангие операций ввода корректировки (редактирование), поиска и удаления;
  
• 
  Модель бухгалтерской проводки;
  
• 
  Математическую модель получения оборотно-сальдового баланса;
  

Алгоритм подведения итогов в модели шахматного баланса
С помощью представления реляционной базы данных бухгалтерских проводок в матричном виде в основном построена математическая модель оборотно-сальдового баланса. Оборотно-сальдовая ведомость является основой учета среднего и малого бизнеса остальные формы типовой бухгалтерской отчетности могут быть получены из нее применением операций реляционной алгебры, таких как объединение, пересечение, проекция селекция, соединение, и др.