Размещено на

Умножение целых неотрицательных чисел в количественной теории. Законы умножения

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотриц. число а*в, удовлетворяющее условиям: 1) а*в=⏟(а+а+⋯+а)┬(в слагаемых) при в>1; 2)а*1=а, при в=1; 3)а*0=0, при в=0. П: по определению 5 имеем: 4*6=4+4+4+4+4+4=24. Действие нахождения произведения называется умножением, а числа а и в называются множителями. Произведение целых неотриц.чисел а и в есть число элементов декартова произведения мн.А и В, где а=п(А), в=п(В), т.е.а*в=п(АхВ), где а=п(А), в=п(В). Во мн.целых неотриц.чисел N0 операция умножения обладает св-ми коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Коммутативность: (∀а, в ∈N0) а*в=в*а. Док-во: пусть а=п(А) и в=п(В). По определению произведения а*в=п(АхВ). Мн.АхВ и ВхА не равны,т.к.не равны пары чисел (а;в) и (в;а), но АхВ и ВхА яв-ся равномощными. Тогда а*в=п(АхВ)= п(ВхА)= в*а. Значит, а*в=в*а. Ассоциативность: (∀а,в,с∈N0) (а*в)*с= а*(в*с). Док-во: пусть а=п(А), в=п(В), с=п(С). По определению произведения (а*в)*с= п((АхВ)хС), а*(в*с)= п(Ах(ВхС)). Мн.(АхВ)хС и Ах(ВхС) не равны, но яв-ся равномощными. Потому п((АхВ)хС)= п(Ах(ВхС)). Следовательно, (а*в)*с=а*(в*с).
Дистрибутивность: (∀а,в,с∈N0) (а+в)*с= а*с+в*с. Док-во: пусть а=п(А), в =п(В), с=п(С). По определению произведения (а+в)*с= п((А∪В)хС); а*с+в*с= п((АхС)∪(ВхС)). На основании св-ва дистрибутивности декартова произведения мн.имеем: (А∪В)хС= (АхС)∪(ВхС). Из этого вытекает, что мощность мн.(А∪В)хС и (АхС)∪(ВхС) тоже равны,т.е.п((А∪В)хС)= п((АхС)∪(ВхС)). Следовательно, (а+в)*с= а*с+в*с. П: 97*5=(90+7)*5=90*5+7*5=450+35=485. Законы: 1.переместительный: для любых целых неотриц.чисел а и в справедливо равенство а*в=в*а. 2.сочетательный: для любых целых неотриц.чисел а, в,с справедливо равенство (а*в)*с= а*(в*с). 3.распределительный закон умножения относительно сложения: для дюбых целых неотриц.чисел а,в,с справедливо равенство (а+в)*с= ас+вс. 4.распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотриц.чисел а,в и с и а≥в справедливо равенство (а-в)с=ас-вс.