Ratsional tenglamalarni yechish

Aim.uz

Ratsional tenglamalarni yechish.

Тenglama ratsional yechimga ega bo’lmasa yoki topilgan ratsional yechim barcha yechimlar to’plamini qanoatlantirsa u holda ratsional tenglamalarni yechishda trigonometrik almashtirishdan foydalaniladi.

1-misol. Тenglama nechta ildizga ega bo’ladi

.

Тenglamaning barcha ildizlari orliqda yotishini isbotlaylik. Ҳaqiqatdan ham, agar

.

U holda qaralayotgan tenglamaning chap tomonidagi xadlar ko’paytmasi 8 dan katta, o’ng tomoni esa 1, bunday bo’lishi mumkin emas.

Тrigonometrik almashtirish yordamida yechish

Aytalik, . U holda tenglamaning qarqlayotgan oraliqdagi har bir ildiz uchun bitta ildiz mos keladi , bu yerda . Aksincha, har bir ildiz uchun beoilgan tenglamaning bitta ildizi mos keladi. Shunday qilib, masalani quyidagi shartlash mumkin, ya’ni oraliqda tenglama nechta ildizga ega bo’ladi

.

Ma’lumki, va , u holda . Shuningdek, agar - tenglama ildizi bo’lsa, u holda ham ildiz hisoblanadi. Shu sababli holat uchun masalani yechish yetarli bo’ladi. U holda yuqoridagilardan kelib chiqib tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin

.

ekanidan, tenglikni ikkala tomonini ga ko’paytirib, quyidagini olamiz



.

Javob: oltida ildiz.

Algebraik yechim

va ekanidan oraliqda ilizi mavjudligini tekshirib ko’raylik. Natijada, ildiz ega bo’lamiz. Тenglikni ikkala tomoni funksiyalarini qaraylik, ya’ni va funksiyalarni. U holda

va funksiya sonlar o’qida uzluksiz ekanidan va larning shunday qiymatlari topmladiki bunda, . Shuning uchun oraliqda tenglama uchta yechimga ega bo’ladi, sonlar o’qida esa jami oltita yechimga ega.

Javob: 6 ildiz.

2-misol. Тenglamani yeching

.

Тenglamani barcha hadlarini 2 ga bo’laylik, uholda tenglama quyidagi ko’rinishga keladi

.

Тenglamani barcha ildizdari moduli birdan katta bo’lmasligini isbotlaylik. Aytaylik , u holda . Тenglamaning chap tomoni bo’lganda birdan katta ekanligini, o’ng tomoni birdan kichikligigi guvohi bo’ldik, bu esa mumkin emas.

, deb olaylik, u holda tenglama quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi

.

shart uchta qiymatni qanoatlantiradi

.

Ma’lumki, kubik tenglamalar ildizilari uchta har xil ildizlardan ko’p bo’lmaydi, shu sababli tenglamaning barcha ildizlari topildi.

Javob: .