Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие меньшей

Geometrik ta’rif

Ehtimollikning geometrik ta’rifi tasodifiy nuqtaning maydonning istalgan qismiga tushish ehtimoli shu maydonning o‘lchamiga (uzunlik, maydon, hajm va hokazo) proportsional bo‘lsa va uning joylashuvi va shakliga bog‘liq bo‘lmaganda qo‘llanilishi mumkin.

Agar Ō fazo uzluksiz bo'lsa va teng darajada mumkin bo'lgan elementar natijalardan iborat bo'lsa, u holda har qanday hodisa uchun


(1.2)
bu erda mes ostida (inglizcha o'lchovdan), bu bo'shliqning istalgan geometrik o'lchovi (uzunlik, maydon, hajm va boshqalar) ko'rsatilgan.
Geometrik ehtimollik (1.2), xuddi klassik (1.1) kabi, A hodisasi sodir bo'lishi uchun qulay bo'lgan mintaqaning geometrik o'lchovining butun mintaqa o'lchovi Ōga nisbatiga teng.
3-misol. z uzunlikdagi KL telefon liniyasidagi joylashuvi teng darajada mumkin bo'lgan C nuqtada uzilish sodir bo'ldi. C nuqtaning K nuqtadan l dan kam bo'lmagan masofada bo'lish ehtimolini aniqlang (A hodisa).
Yechim. Aloqa chizig'ini uzunligi z ga teng bo'lgan KL segmenti sifatida tasvirlaymiz. Keyin =l, = z - l.

Tanaffus CL segmentining uzunligining istalgan birligida teng darajada mumkin. Keyin, geometrik ta'rifga ko'ra, kerakli ehtimollik hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay bo'lgan mintaqa uzunliklarining butun mintaqa uzunligiga nisbati sifatida aniqlanadi, ya'ni. segment KL.

2. Ehtimollarni qo'shish teoremasi

Ehtimollar nazariyasidagi har qanday o'zboshimchalik bilan murakkab hisob-kitoblarda ikkita teorema u yoki bu shaklda qo'llaniladi: qo'shish teoremasi va ehtimollarni ko'paytirish teoremasi.

Teorema 1. Juftlik mos kelmaydigan hodisalarning chekli soni yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng.
Isbot. Keling, ikkita hodisa uchun teoremani isbotlaylik, ya'ni. ko'rsatamizki, agar C=A+B va AB=Ø bo'lsa, u holda

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B), (1.3)

Oddiylik uchun biz ehtimollikning klassik ta'rifiga tayanamiz. Sinov yoki tajribaning elementar natijalari to'plami Ō diskret bo'lsin va n ta teng mumkin bo'lgan natijalardan iborat bo'lsin, ya'ni. = n; A hodisasi m' natijalariga ko'ra ma'qul bo'lsin, = m′; B hodisasi - m' natijalari, = m''. A va B mos kelmasligi sababli, bu hodisalarning boshlanishiga yordam beradigan natijalar orasida tasodifiy natijalar yo'q. Demak, S=A+V hodisasi m′+m′′ natijalariga koʻra maʼqul boʻladi, = m' + m'. Keyin klassik ta'rifga ko'ra

Oxirgi ifoda sifatida ham ifodalanishi mumkin

Shunday qilib, (1.3) munosabat isbotlangan.
Matematik induktsiya usulidan foydalanib, har qanday chekli sonli juftlik mos kelmaydigan hodisalar uchun teoremaning haqiqiyligini ko'rsatish mumkin:



Agar Ø,

Misol 4. Maqsad konsentrik doiralardan iborat. Birinchi, markaziy aylanaga urish ehtimoli 0,05, ikkinchi (o'rta) 0,20, tashqi halqa esa 0,50. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli qanday?

Yechim. Hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lsa, kerakli A hodisasi sodir bo'ladi: A1={birinchi, markaziy aylanada urish}, A2 ={o'rta halqaga urish}, A3 = {tashqi halqada urish} , ya'ni A hodisasi A1 ,A2,A3 hodisalar yigʻindisi koʻrinishida ifodalanadi va bu yigʻindidagi hodisalarning shartlari juft-juft mos kelmaydi va ularning yuzaga kelish ehtimoli berilgan. Keyin qo'shish teoremasi bo'yicha biz olamiz

P (A) = P (A1 + A2 + A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3) = 0,05 + 0,20 + 0,50 = 0,75.

Qo'shish teoremasidan qarama-qarshi hodisalar ehtimolining amaliy muhim natijasi yoki xossasi kelib chiqadi.

Natija. Bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita hodisaning ehtimolliklari bir-birini to'ldiradi: , yoki hodisa ehtimoli , A hodisaga qarama-qarshi, ga teng


, (1.4)
Darhaqiqat, A + dan beri = Ō va A = Ø, keyin (1.3) formula bo'yicha P (A + ) = P(A) + P( ) = P(Ō ) =1. Shuning uchun P( ) =1 − P(A).
Teorema 2. (umumlashtirilgan qo‘shish teoremasi). Agar C hodisasi A va B ikkita hodisaning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, bu erda A va B bir xil maydondagi har qanday hodisadir.

P(C)=P(A+B)=P(A) + P(B) – P(AB), (1.5)3. Ehtimollarni ko‘paytirish teoremasi

Hodisa ehtimolini aniqlash test shartlarining barcha variantlari uchun o'zgarishsiz qoladigan ma'lum G shartlar to'plamiga asoslanadi. Ammo bundan tashqari, A va B hodisalar o'rtasidagi munosabatlarning mohiyatini aniqlash uchun A hodisaning kelib chiqishi yoki ro'y bermasligini kuzatish kerak, keyin hech qanday qo'shimcha shartlarsiz, keyin B hodisasi allaqachon sodir bo'lgan bo'lsa. Agar A hodisaning ehtimoli hech qanday qo'shimcha shart va cheklovlarsiz hisoblansa, u holda bu hodisaning shartsiz ehtimolligi deyiladi va P(A) deb yoziladi. A hodisaning ehtimolligi, boshqa B hodisasi sodir bo'lishi sharti bilan topilgan, shartli deb ataladi va P (A / B) bilan belgilanadi yoki .
Shartli ehtimollar shartsiz ehtimollarning barcha xossalariga ega va bir xil formulalar yordamida topiladi.
Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Ikki A va B hodisalarining ko'paytma ehtimoli, birinchisi sodir bo'lgan taqdirda, ushbu hodisalardan birining shartsiz ehtimolligining ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytmasiga teng:
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) (1.7)
Isbot.
Oddiylik uchun biz ehtimollikning klassik ta'rifiga ham tayanamiz. Ō to'plam cheklangan bo'lsin va sinov yoki tajribaning bir xil darajada mumkin bo'lgan, juft mos kelmaydigan natijalaridan iborat bo'lsin, = n; A hodisasi m ta natijadan iborat, = m; m ≤ n; B hodisasi - k natijalaridan, = k, k ≤ n; AB hodisasi - r natijalaridan, = r, r ≤ n, r ≤ k, r ≤ m, ya’ni A, B va AB hodisalari mos ravishda m, k va r teng ehtimolli natijalar bilan ma’qullanadi. B hodisa ro‘y bergan bo‘lsa, A hodisaning shartli ehtimoli topilsin: R(A/V)=r/k.
Bu kasrning sonini va maxrajini n ga bo'ling.

Demak, P(AB)=P(B)P(A/B).

Bizning fikrimizcha, biz A va B hodisalarini o'zgartirishimiz mumkin. A va B rollarini o'zgartirib, biz P (AB) \u003d P (A) P (B / A) olamiz. Shunday qilib, tenglik (1.7) isbotlangan. Ko'paytirish teoremasi ikkitadan ortiq omillarga ham tegishli
(1.8)
Misol 5. Jo'nash stantsiyasida tovarlarni jo'natish bo'yicha 8 ta buyurtma mavjud: beshtasi - ichki va uchtasi - eksport uchun. Tasodifiy tanlangan ikkita buyurtmaning ichki iste'mol uchun bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim. Muammoni hal qilish uchun biz ehtimollarni ko'paytirish formulasini (1.7) va klassik ta'rifga ko'ra to'g'ridan-to'g'ri hisoblashdan foydalanamiz, ya'ni uni ikki yo'l bilan hal qilamiz.
1-usul: A hodisasi = {birinchi tasodifiy tartib - mamlakat ichida}, B = {ikkinchi tartib, shuningdek tasodifiy olingan - mamlakat ichida}. Shuning uchun (1.7) formula bo'yicha P (AB) ehtimolligini topishimiz kerak.

P(AB)=P(A)P(B/A)=(5/8)(4/7)=5/14.

2-usul: A hodisasi = {tasodifiy tanlangan ikkita buyurtma - mamlakat ichida}. Klassik ta'rifga ko'ra

XULOSA

Ehtimollar nazariyasi - bu ommaviy tasodifiy hodisalarning matematik modellarini o'rganadigan matematik fan. Ehtimollar nazariyasi matematikaning koʻpgina sohalari (kombinatorika, hisob, algebra, mantiq va boshqalar) natijalari va usullaridan foydalanadi. Biroq, ehtimollik nazariyasi o'ziga xos xususiyatlarga ega, chunki u turli xil ilovalar bilan chambarchas bog'liq va bu ilovalar, masalan, algebra yoki differensial tenglamalarning ilovalari kabi tanish emas. Ehtimollar nazariyasi muammolari ham g'ayrioddiy va ko'pincha matematik bo'lmagan formulaga ega. Bu, birinchi navbatda, ehtimollik nazariyasining paydo bo'lishi qimor o'yinlarining kombinatsion muammolari bilan bog'liqligi bilan bog'liq. Qimor o'yinini jiddiy mashg'ulot deb hisoblash qiyin. Ammo vazifalarni aynan ular olib borishdi

Boshqa matematik fanlar singari, ehtimollar nazariyasi ham amaliyot ehtiyojlaridan kelib chiqqan holda ishlab chiqilgan va amaliy fan bo'lgan. Shu munosabat bilan uning tushunchalari va xulosalari ular olingan bilim sohalariga xos xususiyatlarga ega edi. Amal qilish sohasidan qat'i nazar, ehtimollik sxemalariga xos bo'lgan va ehtimollik nazariyasini bilishning ishonchli, aniq va samarali usuliga aylantirish imkonini beradigan umumiy narsa asta-sekin kristallandi.