Ranch texnologiya universiteti “Iqtisodiyоt va ishlab chiqarishni tashkil qilish” kafedrasi “Oliy matematika” fanidan yakuniy nazorat savollari

RANCH texnologiya universiteti “Iqtisodiyоt va ishlab chiqarishni tashkil qilish” kafedrasi “Oliy matematika” fanidan yakuniy nazorat savollari
21-bilet

1. 
   2-va 3-tartibli determinantlar va ularning xossalari.
   

1. Фараз этайлик бизга

a₁₁x₁ кa₁₂ x₂ к b₁ (1) a₂₁ a₂₂
a₂₁x₁ кa₂₂ x₂ к b₂ -a₁₁ - a₁₂
чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (1) ни x₁ ва x₂ га нисбатан ечсак
b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂ b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁
x₁к  , x₂к  (2)
a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ a₁₁ a₂₂- a₁₂ a₂₁
лар хосил киламиз. Бу ерда махраж
dк a₁₁ a₂₂ -a₁₂a₂₁ к (3)
куринишда белгиланиб (3)га иккинчи тартибли детерминант дейилади. Демак, иккинчи тартибли детерминантни хисоблаш учун унинг бош диагоналидаги элементлари купайтмасидан иккинчи диагоналидаги элементлари купайтмасини айириш керак экан. (2) нинг суратидаги ифодаларни хам иккинчи тартибли детерминант куринишда ёзиш мумкин:
d₁к b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂к , d₂к b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁ к
Булардан фойдаланиб (2) ни
x₁к d₁ / d , x₂к d₂ / d (4)
куринишда ёзиш мумкин. (4) га (1) системани ечиш учун Крамер формуласи дейилади.
Мисол.
системани Крамер формулалари ёрдамида ечинг.
Бу ерда .
Демак, (4) га кура x₁к -5 /( -5) к 1 ва x₂к -5 / (-5) к1.
Жавоби: x₁ к 1 ва x₂к 1.
2.Энди фараз килайлик 3 та номаълумли

чизикли тенгламалар системаси берилган булсин. (5)ни x₁ ,x₂ , x₃ ларга нисбатан ечамиз. Бунинг учун унинг биринчи тенгламасини a₂₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₁ га иккинчисини a₁₃ a₃₂ - a₁₂ a₃₃ га ва учинчисини a₁₂ a₂₃ - a₁₃ a₂₂ га купайтириб кsшамиз. У холда
b₁ a₂₂ a₃₃ к b₂ a₁₃ a₃₂ к b₃ a₁₂ a₂₃ - b₃ a₁₃ a₂₂ - b₂ a₁₂ a₃₃ - b₁ a₂₃ a₃₂
x₁к  . (6)
a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂
Бунинг махражини
dк a₁₁ a₂₂ a₃₃ к a₂₁ a₁₃ a₃₂к a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₁₃ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ к
к
деб белгилаб олсак , (7) га 3- тартибли детерминант дeйилали. (7) нинг чап томонидан уни хисоблаш коидаси келиб чикади:

2. 
   Fazoda tekislik va uning turli tenglamalari.
   

Tekisliklar va ularning chizmada tasvirlanishi
Tekislik birinchi tartibli sirt hisoblanadi. Chunki u birinchi darajali algebraik
tenglama bilan ifodalanadi, ya‘ni a bc 1. x y z Ortogonal proyeksiyalarda tekislikning fazodagi vaziyati uni berilishini ta‘minlovchi elementlarning proyeksiyalari orqali aniqlanadi.
Umumiy holda tekislikning fazoviy vaziyatini bir to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lmagan uchta nuqta aniqlaydi. Haqiqatdan, 4.1-rasmdagi A, B va C nuqtalar fazoda biror Q tekislikning vaziyatini aniqlaydi. Bu nuqtalardan har birining fazoviy o’rni o’zgarishi bilan tekislikning vaziyati ham fazoda o’zgaradi.
Uchta nuqtaning ikkitasi orqali hamma vaqt bir to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Shuningdek, uchta nuqta yordamida ikki parallel va kesishuvchi chiziqlar o’tkazish yoki tekis geometrik shakl, (masalan, uchburchak) hosil qilish mumkin.
Chizma geometriyada tekisliklar quyidagi hollar bilan beriladi:
bir to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lmagan uchta nuqtaning proyeksiyalari bilan (4.2–a, rasm);

• 
  bir to’g’ri chiziq va unga tegishli bo’lmagan nuqtaning proyeksiyalari bilan (4.2,b- rasm);
  
• 
  ikki parallel to’g’ri chiziq proyeksiyalari bilan (4.2,v-rasm);
  
• 
  ikki kesishuvchi to’g’ri chiziq proyeksiyalari bilan (4.2,g-rasm);
  
• 
  tekis geometrik shakllarning ortogonal proyeksiyalari orqali berilishi ham mumkin (4.2,d-rasm).
  

Shuningdek, tekislik proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishish chiziqlari orqali berilishi ham mumkin. Masalan 4.3-rasmda, P tekislik H, V va W proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan P_H, P_V, P_W chiziqlar orqali berilishi ko’rsatilgan.
Agar biror tekislik proyeksiyalar tekisliklari bilan bir xil og’ish burchak hosil qilsa, uning ikkita izi bir to’g’ri chiziqda yotadi. Uchinchi izi esa proyeksiyalarini o’qi bilan 45° burchak hosil qiladi (4.3,v-rasm).