Radon-Nikodim teoremasi

Radon-Nikodim teoremasi natijasi o'lchov nazariyasi bir xil aniqlangan ikkita o'lchov o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi o'lchanadigan joy. A o'lchov a funktsiyani o'rnatish o'lchov qilinadigan bo'shliqning o'lchanadigan pastki qismlariga izchil kattalikni belgilaydi. O'lchovga misol sifatida maydon va hajm kiradi, bu erda kichik to'plamlar ochko to'plamlari; yoki hodisa ehtimoli, bu kengroq doiradagi mumkin bo'lgan natijalarning bir qismidir ehtimollik maydoni.
Berilgan o'lchovdan yangi o'lchovni olishning bir usuli - bo'shliqning har bir nuqtasiga zichlikni belgilash, keyin birlashtirmoq qiziqishning o'lchanadigan pastki qismidan. Buni quyidagicha ifodalash mumkin

qayerda ν har qanday o'lchovli kichik to'plam uchun aniqlanadigan yangi o'lchovdir A va funktsiyasi f - berilgan nuqtadagi zichlik. Integral mavjud o'lchovga bog'liq m, ko'pincha kanonik bo'lishi mumkin Lebesg o'lchovi ustida Haqiqiy chiziq ℝ yoki n o'lchovli Evklid fazosi ℝⁿ (uzunligi, maydoni va hajmi bo'yicha bizning standart tushunchalarimizga mos keladi). Masalan, agar f massa zichligi va m uch o'lchovli kosmosdagi Lebesg o'lchovi edi ℝ³, keyin ν(A) fazoviy mintaqadagi umumiy massaga teng bo'ladi A.