Радиоэлектроника асослари муҳаррир — Қ. Азимов

IV. Комплекс амплитудалар усули. Маълумки, комплекс соҳада ётувчи нуқтанинг ўрни комплекс сон ор- қали ифодаланади ва уч хил ёзилади: алгебраик, тригонометрик ва кўрсаткичли. Уларни 2.9- расмдан аниқ- лаш мумкин.

2.9-расм. Комплекс соҳада айланувчи радиус-вектор
Комплекс сон U_K (A—нуқта) нинг алгебраик ифодаси
(2.8)
кўринишда ёзилади. Бунда — иррационал сон. «а»
катталик комплекс соннинг ҳақиқий қисми бўлиб, сон жи- ҳатдан радиус-вектор U_m нинг ҳақиқий (Real) ўққа проекциясига тенгдир:

«b» катталик эса, комплекс сон U_K нинг мавҳум қисмини ташкил этади ва сон жиҳатдан радиус-векторнинг мавҳум (Imaginare) ўққа проекцияси бўлади:

«а» ва «b» катталикларнинг ифодаларини (2.8) формулага қўйсан, комплекс сон U_K нинг тригонометрик ифодаси ҳосил бўлади:
(2.8a)
Агар cosα + j sinα — e^jα (Эйлер формуласи) эканини ҳисоб- га олсак, комплекс соннинг учинчи—кўрсаткичли ифодаси ҳосил бўлади:
U_к = U_m·e^jα (2.8б)
Бунда комплекс соннинг модули, α — ком­плекс соннинг аргументи дейилади ва қуйидагича аниқла- нади:
(2.9)
Электр занжирларини ҳисоблашнинг бу усулида комплекс соҳада ётувчи А нуқта деб радиус-вектор нинг учи олинади. Радиус-вектор айланма ҳаракатда бўлгани учун бу нуқта ҳам вақт ўтиши билан комплекс соҳадаги ўз ўрнини ўзгартириб туради. Шунинг учун у тебранишнинг оний қийматларини ифодалаб беради.
Демак, радиус-векторнинг модули гармоник тебра­нишнинг амплитуда қийматини, аргументи эса, ҳар бир вақт моменти учун тебраниш фазаси α = ωt + φ ни ифо- далайди. Шунга кўра
U = U_m · cos (ωt + φ) ёки U = U_m v sin (ωt + φ)
кўринишда ифодаланган гармоник тебранишлар комп­лекс соҳада тригонометрик
U_K = U_m cos (ωt + φ) + j U_m sin (ωt + φ) (2.10) ёки кўрсаткичли
U_K = U_m · е^{j(ωt + φ)} = U_m · ^jωt (2.10a)
шаклда бирхил U_K комплекс сон орқали ифодаланадилар. U_K катталик оний комплекс сон деб аталади ва гармоник теб­ранишнинг оний қийматини ифодаловчи белги бўлиб ҳисобланади.
U_m · е^jω = U_m (cosφ + j sinφ) (2.10б)
катталик тебранишнинг комплекс амплитудаси дейилади. У ҳақиқий ўқ билан ф бурчак ташкил қилган қўзғолмас радиус векторни ифодалайди. (2.9-расм). Шунинг учун унинр модули сон жиҳатдан тебраниш амплитудасига тенг бўлади:
׀U׀ = U_m.
Шундай қилиб, оний комплекс сон U_K гармоник тебра- нишниг оний қийматига тенг эмас. U_K гармоник тебраниш­нинг комплекс соҳадаги шартли белгисидир. Гармоник теб­ранишнинг ҳақиқий U(t) қийматига ўтиш учун радиус-век­торнинг ё ҳақиқий, ё мавҳум ўққа проекциясини аниқлаш лозим:
(2.10в)
Демак, кўрилаётган усулнинг моҳияти гармоник ҳодисани комплекс соннинг мавҳум ёки ҳақиқий қисмлари кўринишида ифодалашдан иборатдир. Бунда ҳақиқий физик ҳодисани ифодалаш учун зарур математик ҳи- соблашлар комплекс сон устида олиб борилади. Якуний натижани аниқлашда яна бошлапғич ҳолатга қайтилади.
Ҳақиқий қисмлари тенг, мавҳум қисмлари ишораси билан фарқ қилувчи икки комплекс сон қўшма комп­лекс сон деб аталади. Уларнинг модуллари бир хил бўлиб, фазалари миқдор жиҳатдан тенг ва ишоралари қарама-қарши бўлади:
(2.11)
Икки қўшма комплекс соннинг кўпайтмаси улар модул- ларининг квадратига тенгдир:

Занжирларни ҳисоблашда элементларнинг қарши- лигини комплекс сонлар билан тасвирлаш катта амалий аҳамиятга эга. Текширилаётган занжир қаршилигининг комплекс тасвири ундаги кучланиш ва токнннг комплекс ифодаларини ўзаро боғлайдиган миқдордир. Бу боғланиш Ом қонунига моc келади:
(2.12)
катталик занжирнинг тўлиқ комплекс қаршилиги ёки занжир импенданси деб аталади. Унинг комплекс бўлиши занжирдаги ток ва кучланиш орасида фаза силжиши мавжудлигини ифодалайди.
(2.12) ифодани қуйидаги кўринишда ёзиб олайлик:


(2.12)
Агар (2.12а) ифодани занжирга қўйилган U=U_mcos(ωt + φ) гармоник кучланиш таъсирида занжнрда ҳосил бўладиган токнинг комплекс амплитудаси деб қарасак, унинг оний комплекс миқдори

бўлиб, ҳақиқий қиймати
(2.12б)
бўлади.
Демак, занжирдаги турғун (стационар) токнинг ифодасини аниқлаш учун занжирнинг тўлиқ комплекс қаршилиги маълум бўлиши керак.
Шу мақсадда занжирни ташкил этадиган R, L, С элементлар қаршиликларининг комплекс ифодаларини аниқлайлик.
Агар хар бир элемент учларидаги кучланиш U_K(t)=U_m ·
· e^jωt, ўтаётган ток I_K(t)= I_m · e^jωt деб фараз қилсак, қуйидаги тенгликларни ёзиш мумкин:
(2.13)
(2.13) ифодадан кўринадики, R, L, С элементларнинг қяршиликлари ўзига мос келувчи комплекс қаршиликнинг модулига тенг экан. Демак, занжир элементининг комплекс қаршилиги унинг ҳақиқий қаршилигидан е^jα миқдорга фарқ қилар экан. Бу миқдор элементдаги кучланиш билан ток орасидаги фаза фарқини ифода­лайди. (2.13) ифодага кўра резистордан ўтувчи токнинг фазаси унга қўйилган кучланиш фазасига мос келади: α=0.
Индуктивликдан ўтувчи ток қўйилган кучланишдан бурчак орқада қолса, конденсатордаги ток бурчак олдинга кетади. Шунинг учун индуктийлик ғалтаги ва кон­денсатор реактив қаршиликлар бўлиб, энергия тўплаш хусусиятига эга элементлардир.
Шундай қилиб, комплекс амплитудалар усулини қўллаш занжирни ифодаловчи барча дифференциал ёки интеграл тенгламаларни оддий алгебраик тенгламалар билан алмаштиради. Натижада ҳисоблаш бирмунча соддалашади.