R. M. Turgunbaev

Teylor formulasining Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadi

Teylor formulasi qoldiq hadining boshqa ko‘rinishlariga misol tariqasida Koshi ko‘rinishidagi qoldiq hadni keltirish mumkin. Buning uchun

( t ) 
f ( x ) 
f ( t ) 
f ' ( t )( x  t )  ... 
f ^{( n )}( t )


n!
( x  t )ⁿ

yordamchi funksiyani tuzib olamiz va [x₀;x] segmentda uzluksiz, (x₀;x) intervalda esa noldan farqli chekli hosilaga ega bo‘lgan biror (t) funksiyani olib, bu funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llasak,

R_n( x ) 
 ( x ) ( x₀ ) _
'( c )
_f ( n1 )_{( c )} n!
( x  c )ⁿ ,
c ( x₀ ; x )
(3.11)

ko‘rinishdagi qoldiq hadni chiqarish mumkin.
Agar (3.11) formulada (t) funksiya sifatida (t)=x-t funksiya olinsa, natijada Koshi shaklidagi qoldiq hadni hosil qilamiz:

R_n ( x ) 
_f ( n1 )_{( c )} n!
(1   )ⁿ
( x  x₀ )
n1 _,
c  x₀  ( x  x₀ ),
0    1

4-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

1. 
   e^x funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=e^x funksiyaning (-
   

;+) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f^(k)(x)=e^x, k=1, 2, ..., n+1. Bundan x=0 da f^(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x va f(0)=1 hosil bo‘ladi. Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo‘yib

2
е^х  1 ^х  ^х
1! 2!
 ... ^х

n
n!
 _хn1
( n 1)!
_ex
(4.1)

bu erda 0<<1, formulaga ega bo‘lamiz.

23. 
    rasmda keltirilgan.
    

f ( x )  e^x
funksiya va P₃(x) ko‘phad funksiyaning grafiklari

Agar x=1 bo‘lsa,
е  1 ¹ 
1!
²  ...
2!
1 _ е^
n! ( n 1 )!

(4.2)

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.

23. 
    rasm
    

Haqiqatan ham, faraz qilaylik,
е  ^p
q
- ratsional son bo‘lsin. Bunda e>1

bo‘lganligi uchun p>q bo‘ladi. (4.2) da
е  ^p
q
desak,

p 1 1
1 1 ^ p ^

 2 
q
  .....   


2! 3!
n! ( n 1)! _ q _

Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko‘paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

p 1 1
1 ^ p ^

n!( 2  n!  n!  n!...1)   
q 2! 3! n 
(4.3)

1_ q _
Bu erda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda <1, p>q bo‘lganligi uchun

1  p ^
1 p p

0    
n 
  1
(4.4)

1_ q _
n  1 q
n  1

bo‘ladi. Shuningdek, n>p>q bo‘lganligi uchun ga teng bo‘lgan ko‘paytuvchi uchraydi.
^p n! -butun son, chunki n! da q
q

Ravshanki,


2n! ¹  n! ¹  n!...1

2! 3!
ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (4.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz

qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo‘ladi.

2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi.

f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila

uchun quyidagi formula o‘rinli edi (I.8-§):
f(0)=0 va
f ^{( n )}( x )  sin( x  ^n
2
) . x=0 da

f ^{( n )}( 0 )  sin ^n
2
_0,



agar
к
n  2k,

_( 1) ,
agar
n  2к  1

Shuning uchun (3.10) formulaga ko‘ra

3
sin x  x  ^x
3!
 ... ( 1)^k
_x2k 1


( 2k 1)!
 _x2k 2
( 2k  2 )!
sin(x  ( k 1) ),
0    1
(4.5)

ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz.

23. 
    rasm
    
23. 
    rasmda f(x)=sinx, P₃(x), P₅(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
    

3. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.

Ma’lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun

f ^{( n )}( x )  cos( x  ^n )
2
formulaga egamiz (I.8-§).

x=0 da f(0)=1 va
f ^{( n )}( 0 )  cos ^n
2
_0,



agar
k
n  2k  1,

_( 1) ,
agar
n  2k

Demak, sosx funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli:

x x x _k
2 4 6
сosx  1    ... ( 1)
_x2k 
_x2k 2
cos(x 
k  ^ ),
0    1


(4.6)

2! 4! 6!
2k!
( 2k 1)! 2

23. 
    rasm
    

25-rasmda f(x)=cosx, P₂(x), P₄(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.

4. 
   f(x)=(1+x)^ (R) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (- 1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)^ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz:
   

f ' ( x )  (1 х )^1 , f '' ( x )  (  1)(1 x )^2 ,
f ''' ( x )  (  1)(   2 )(1 x )^3 ,...,
f ^{( n )}( x )  (  1)...(   n 1)(1 x )^n . (4.7)
Ravshanki, f(0)=1, f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)...(-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)^
funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi:

_{1 x  1 x }  1 _{x2  ...}  1...  n 1 _{xn }  1...  n_{(1 x ) n1 xn1}
(4.8)

2!
0<<1.
n! ( n 1)!

5. 
   f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi.
   

Bu funksiyaning (-1;) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi

mavjud. Haqiqatan ham,
f ' ( x )  (ln(1  х ))^  (1  x )^1
funksiyasiga (4.7)

formulani qo‘llab, unda =-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak,

_f ( n )
( x ) 
( 1)^n1( n  1)! (1  x )ⁿ
formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f


(n)
(0)=(-

1. 
   ^n-1(n-1)! Shuni e’tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini
   

yozamiz:

2
ln(1 x )  x  ^x

• 
  _x3
  

• 
  _x4
  

 ... ( 1)
n1 ^xn
_ ( 1)ⁿ
_xn1
, 0    1
(4.9)

2 3 4
^{n ( n 1)} (1 x )^n1

Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko‘ramiz.

1. 
   misol. Ushbu f(x)=e^-3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing.
   

Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f’(0),...,f⁽ⁿ⁾(0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=e^x

funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (4.1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada

_е3х
 1 ^3х
1!
_ 9х²
2!
 ... ( 1)
_{n 3}n _хn
n!
_ ( 3х )^n1 ( n 1)!
_e3x
, 0<<1,

formulaga ega bo‘lamiz.

2. 
   misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x₀=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
   

Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va

( x 1)²
_n1 ( x 1)ⁿ ( 1)ⁿ ( x 1)^n1

lnx=( x 1) 
 ...  ( 1)
2
^{n  ( n  1) } (1  ( x 1))^{n1 , 0<  <1}

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.

6.