3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki,
,
)
x
(
f
lim
a
x
0
=
→
,
)
x
(
f
lim
a
x
∞
=
→
bo‘lganda f(x)
⋅
g(x) ifoda 0
⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib,
uning quyidagi
56
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
f
1
1
=
=
⋅
kabi yozish orqali
0
0
yoki
∞
∞
ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Shuningdek,
,
)
x
(
f
lim
a
x
+∞
=
→
,
)
x
(
g
lim
a
x
+∞
=
→
bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda
∞-∞
ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
g
)
x
(
g
)
x
(
f
1
1
1
1
⋅
−
=
−
0
0
ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma’lumki, x
→
a da f(x) funksiya 1, 0 va
∞ ga, g(x) funksiya esa mos
ravshda
∞, 0 va 0 intilganda (f(x))
g(x)
darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1
∞
, 0
0
,
∞
0
ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun
avval y=(f(x))
g(x)
ni logarifmlaymiz: lny= g(x)
⋅
ln(f(x)). Bunda
x
→
a da g(x)ln(f(x))
ifoda 0
⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0
⋅∞, ∞-∞, 1
∞
, 0
0
,
∞
0
,
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochi
щda, ularni
0
0
yoki
∞
∞
ko‘rinishidagi
aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham
f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini
qanoatlantirsa, u holda
)
x
(
'
'
g
)
x
(
'
'
f
lim
)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
a
x
a
x
a
x
→
→
→
=
=
tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish
mumkin bo‘ladi.
Misol. Ushbu
2
1
0
x
x
x
tgx
lim
→
limitni hisoblang.
Yechish. Ravshanki, x
→0 da
2
1
x
x
tgx
ifoda 1
∞
ko‘rinishdagi aniqmaslik
bo‘ladi. Uni logarifmlab,
0
0
aniqmaslikni ochishga keltiramiz:
57
.
x
х
sin
lim
x
x
sin
x
cos
lim
)'
x
(
)'
x
cos
x
sin
x
(
lim
x
x
cos
x
sin
x
lim
x
x
tgx
x
cos
x
tgx
x
lim
)'
x
(
)'
x
tgx
(ln
lim
x
x
tgx
ln
lim
y
ln
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
3
1
2
6
1
2
6
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0
2
2
2
0
3
0
3
0
2
2
0
2
0
2
0
0
=
⋅
=
=
+
−
=
−
=
=
−
=
−
⋅
=
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
Demak,
3
3
1
1
0
2
e
e
x
tgx
lim
x
x
=
=
→
.
Misollar
1. Quyidagi limitlarni hisoblang:
a)
7
4
4
3
5
3
3
2
3
+
+
+
−
∞
→
x
x
x
x
lim
x
; b)
x
)
x
ln(sin
lim
/
x
2
2
−
→
π
π
; c)
−
−
→
x
ln
x
lim
x
1
1
1
1
;
d)
4
2
2
x
tg
)
x
(
lim
x
π
−
→
; e)
x
x
x
lim
+
→0
; f)
x
x
)
x
(
lim
1
1
+
+∞
→
.
3-§ Teylor formulasi
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri
bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda
funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x
0
nuqtadagi qiymatini hisoblash
uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar y=f(x) funksiya x
0
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
∆
f(x
0
)=f’(x
0
)
∆
x+o(
∆
x), ya’ni
f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+o(x-x
0
)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x
0
nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun
birinchi darajali
P
1
(x)=f(x
0
)+b
1
(x-x
0
) (3.1)
ko‘phad mavjud bo‘lib, x
→
x
0
da f(x)=P
1
(x)+o(x-x
0
) bo‘ladi. Shuningdek, bu
ko‘phad P
1
(x
0
)=f(x
0
), P
1
’(x
0
)=b=f’(x
0
) shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x=x
0
nuqtaning biror atrofida
aniqlangan y=f(x) funksiya shu nuqtada f’(x), f’’(x), ..., f
(n)
(x) hosilalarga ega
bo‘lsa, u holda
f(x)=P
n
(x)+o(x-x
0
) (3.2)
58
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan P
n
(x) ko‘phad
mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
P
n
(x)=b
0
+b
1
(x-x
0
)+b
2
(x-x
0
)
2
+ ... +b
n
(x-x
0
)
n
, (3.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan b
0
, b
1
, b
2
, ..., b
n
koeffitsientlarni topishda
P
n
(x
0
)=f(x
0
), P
n
’(x
0
)=f’(x
0
), P
n
’’(x
0
)=f’’(x
0
), ..., P
n
(n)
(x
0
)=f
(n)
(x
0
) (3.4)
shartlardan foydalanamiz. Avval P
n
(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
P
n
’(x)=b
1
+2b
2
(x-x
0
)+3b
3
(x-x
0
)
2
+ ... +nb
n
(x-x
0
)
n-1
,
P
n
’’(x)=2
⋅
1b
2
+3
⋅
2b
3
(x-x
0
)+ ... +n
⋅
(n-1)b
n
(x-x
0
)
n-2
,
P
n
’’’(x)=3
⋅
2
⋅
1b
3
+ ... +n
⋅
(n-1)
⋅
(n-2)b
n
(x-x
0
)
n-3
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
P
n
(n)
(x)=n
⋅
(n-1)
⋅
(n-2)
⋅
...
⋅
2
⋅
1b
n
.
Yuqorida olingan tengliklar va (3.3) tenglikning har ikkala tomoniga x
o‘rniga x
0
ni qo‘yib barcha b
0
, b
1
, b
2
, ..., b
n
koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
P
n
(x
0
)=f(x
0
)=b
0
,
P
n
’(x
0
)=f’(x
0
)=b
1
,
P
n
’’(x
0
)=f’’(x
0
)=2
⋅
1b
2
=2!b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P
n
(n)
(x
0
)=f
(n)
(x
0
)=n
⋅
(n-1)
⋅
...
⋅
2
⋅
1b
n
=n!b
n
Bulardan b
0
=f(x
0
), b
1
=f’(x
0
), b
2
=
!
2
1
f’’(x
0
), . . ., b
n
=
!
n
1
f
(n)
(x
0
) hosil qilamiz.
Topilgan natijalarni (3.3) qo‘yamiz va
P
n
(x)= f(x
0
)+ f’(x
0
)(x-x
0
)+
!
2
1
f’’(x
0
)(x-x
0
)
2
+ ... +
!
n
1
f
(n)
(x
0
)(x-x
0
)
n
, (3.5)
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (3.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va
Teylor ko‘phadi ayirmasini R
n
(x) orqali belgilaymiz: R
n
(x)=f(x)-P
n
(x). (3.4)
shartlardan R
n
(x
0
)=R
n
’(x
0
)=...= R
n
(n)
(x
0
)=0 bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi R
n
(x)=o((x-x
0
)
n
), ya’ni
0
x
x
lim
→
n
n
)
x
x
(
)
x
(
R
0
−
=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar
x
→
x
0
bo‘lsa,
0
x
x
lim
→
n
n
)
x
x
(
)
x
(
R
0
−
ifodaning 0/0 tipidagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish
qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
0
x
x
lim
→
n
n
)
x
x
(
)
x
(
R
0
−
=
0
x
x
lim
→
1
0
−
−
n
n
)
x
x
(
n
)
x
(
'
R
=…=
0
x
x
lim
→
)
x
x
(
!
n
)
x
(
R
)
n
(
n
0
1
−
−
=
=
0
x
x
lim
→
!
n
)
x
(
R
)
n
(
n
=
!
n
)
x
(
R
)
n
(
n
0
=0, demak x
→
x
0
da R
n
(x)=o((x-x
0
)
n
) o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. Agar y=f(x) funksiya x
0
nuqtaning biror atrofida n marta
differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda x
→
x
0
da quyidagi formula
f(x)= f(x
0
)+ f’(x
0
)(x-x
0
)+
!
2
1
f’’(x
0
)(x-x
0
)
2
+ ... +
!
n
1
f
(n)
(x
0
)(x-x
0
)
n
+o((x-x
0
)
n
) (3.6)
o‘rinli bo‘ladi, bu erda R
n
(x)=o((x-x
0
)
n
) Peano ko‘rinishidagi qoldiq had.
59
Agar (3.6) formulada x
0
=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi
hosil bo‘ladi:
f(x)=f(0)+ f’(0)x+
!
2
1
f’’(0)x
2
+ ... +
!
n
1
f
(n)
(0)x
n
+o(x
n
). (3.7)
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |