R. M. Turgunbaev matematik analiz

3.  Boshqa  ko‘rinishdagi  aniqmasliklar.  Ma’lumki, 

,

)

x

(

f

lim

a

x

0

=

→

  

,

)

x

(

f

lim

a

x

∞

=

→

  bo‘lganda   f(x)

⋅

g(x)  ifoda  0

⋅∞  ko‘rinishidagi  aniqmaslik  bo‘lib, 

uning quyidagi 

 

56 

)

x

(

f

)

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

f

)

x

(

g

)

x

(

f

1

1

=

=

⋅

 

kabi  yozish  orqali 

0

0

  yoki 

∞

∞

  ko‘rinishidagi  aniqmaslikka  keltirish  mumkin. 

Shuningdek, 

,

)

x

(

f

lim

a

x

+∞

=

→

  

,

)

x

(

g

lim

a

x

+∞

=

→

  bo‘lganda  f(x)-g(x)  ifoda 

∞-∞ 

ko‘rinishidagi aniqmaslik  bo‘lib,  uni ham quyidacha shakl almashtirib 

)

x

(

g

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

g

)

x

(

g

)

x

(

f

1

1

1

1

⋅

−

=

−

 

0

0

 ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.  

Ma’lumki,  x

→

a  da  f(x)  funksiya  1,  0  va  

∞  ga,  g(x)  funksiya  esa  mos 

ravshda 

∞, 0  va  0  intilganda  (f(x))

g(x)

  darajali-ko‘rsatkichli  ifoda  1

∞

,  0

0

,  

∞

0

 

ko‘rinishidagi  aniqmasliklar  edi.  Bu  ko‘rinishdagi  aniqmasliklarni  ochish  uchun  

avval  y=(f(x))

g(x)

 ni logarifmlaymiz: lny= g(x)

⋅

ln(f(x)). Bunda

 

x

→

a da g(x)ln(f(x)) 

ifoda 0

⋅∞ ko‘rinishdagi  aniqmaslikni ifodalaydi. 

Shunday  qilib,  funksiya  hosilalari  yordamida  0

⋅∞,  ∞-∞, 1

∞

, 0

0

, 

∞

0

, 

ko‘rinishdagi  aniqmasliklarni  ochi

щda,  ularni  

0

0

  yoki 

∞

∞

  ko‘rinishidagi 

aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi. 

2-eslatma. Agar  f(x) va g(x) funksiyalarning  f’(x) va g‘(x) hosilalari   ham 

f(x)  va  g(x)  lar  singari  yuqorida  keltirilgan  teoremalarning  barcha  shartlarini 

qanoatlantirsa, u holda  

)

x

(

'

'

g

)

x

(

'

'

f

lim

)

x

(

'

g

)

x

(

'

f

lim

)

x

(

g

)

x

(

f

lim

a

x

a

x

a

x

→

→

→

=

=

 

tengliklar  o‘rinli  bo‘ladi,  ya’ni  bu  holda  Lopital  qoidasini  takror  qo‘llanish 

mumkin bo‘ladi. 

Misol. Ushbu 

2

1

0

x

x

x

tgx

lim













→

limitni hisoblang.  

Yechish.  Ravshanki,  x

→0  da 

2

1

x

x

tgx 











ifoda  1

∞

  ko‘rinishdagi  aniqmaslik 

bo‘ladi. Uni logarifmlab, 

0

0

 aniqmaslikni ochishga keltiramiz: 

 

57 

.

x

х

sin

lim

x

x

sin

x

cos

lim

)'

x

(

)'

x

cos

x

sin

x

(

lim

x

x

cos

x

sin

x

lim

x

x

tgx

x

cos

x

tgx

x

lim

)'

x

(

)'

x

tgx

(ln

lim

x

x

tgx

ln

lim

y

ln

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

3

1

2

6

1

2

6

1

3

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

0

2

2

2

0

3

0

3

0

2

2

0

2

0

2

0

0

=

⋅

=

=

+

−

=

−

=

=

−

=

−

⋅

=

=

=

→

→

→

→

→

→

→

→

 

 

Demak,    

3

3

1

1

0

2

e

e

x

tgx

lim

x

x

=

=













→

. 

 

Misollar 

1. Quyidagi limitlarni hisoblang: 

a) 

7

4

4

3

5

3

3

2

3

+

+

+

−

∞

→

x

x

x

x

lim

x

;     b) 

x

)

x

ln(sin

lim

/

x

2

2

−

→

π

π

;      c) 













−

−

→

x

ln

x

lim

x

1

1

1

1

;   

d) 

4

2

2

x

tg

)

x

(

lim

x

π

−

→

;         e)

x

x

x

lim

+

→0

;        f) 

x

x

)

x

(

lim

1

1

+

+∞

→

. 

 

 

3-§   Teylor formulasi 

 

Teylor formulasi matematik  analizning eng muhim formulalaridan biri 

bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi. 

1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. 

Ma’lumki,  funksiyaning  qiymatlarini  hisoblash  ma’nosida  ko‘phadlar  eng  sodda 

funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x

0

 nuqtadagi qiymatini hisoblash 

uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.  

Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar y=f(x) funksiya x

0

 

nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini 

∆

f(x

0

)=f’(x

0

)

∆

x+o(

∆

x), ya’ni 

f(x)=f(x

0

)+f’(x

0

)(x-x

0

)+o(x-x

0

) 

ko‘rinishda yozish mumkin.  

Boshqacha  aytganda  x

0

  nuqtada  differensiallanuvchi  y=f(x)  funksiya  uchun 

birinchi darajali 

P

1

(x)=f(x

0

)+b

1

(x-x

0

)                                  (3.1) 

ko‘phad mavjud bo‘lib,  x

→

x

0

  da  f(x)=P

1

(x)+o(x-x

0

)  bo‘ladi.  Shuningdek,  bu 

ko‘phad  P

1

(x

0

)=f(x

0

), P

1

’(x

0

)=b=f’(x

0

) shartlarni ham qanoatlantiradi. 

 

Endi  umumiyroq  masalani  qaraylik.  Agar  x=x

0

  nuqtaning  biror  atrofida 

aniqlangan  y=f(x)  funksiya  shu  nuqtada  f’(x), f’’(x), ..., f

(n)

(x)  hosilalarga  ega 

bo‘lsa, u holda  

f(x)=P

n

(x)+o(x-x

0

)                                                  (3.2)           

 

58 

shartni  qanoatlantiradigan  darajasi  n  dan  katta  bo‘lmagan  P

n

(x)  ko‘phad 

mavjudmi? 

 

Bunday ko‘phadni 

P

n

(x)=b

0

+b

1

(x-x

0

)+b

2

(x-x

0

)

2

+ ... +b

n

(x-x

0

)

n

,                     (3.3) 

ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan b

0

, b

1

, b

2

, ..., b

n

 koeffitsientlarni topishda  

P

n

(x

0

)=f(x

0

), P

n

’(x

0

)=f’(x

0

), P

n

’’(x

0

)=f’’(x

0

), ..., P

n

(n)

(x

0

)=f

(n)

(x

0

)                  (3.4) 

shartlardan foydalanamiz. Avval P

n

(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz: 

P

n

’(x)=b

1

+2b

2

(x-x

0

)+3b

3

(x-x

0

)

2

+ ... +nb

n

(x-x

0

)

n-1

, 

P

n

’’(x)=2

⋅

1b

2

+3

⋅

2b

3

(x-x

0

)+ ... +n

⋅

(n-1)b

n

(x-x

0

)

n-2

, 

P

n

’’’(x)=3

⋅

2

⋅

1b

3

+ ... +n

⋅

(n-1)

⋅

(n-2)b

n

(x-x

0

)

n-3

, 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 

P

n

(n)

(x)=n

⋅

(n-1)

⋅

(n-2)

⋅

...

⋅

2

⋅

1b

n

. 

Yuqorida  olingan  tengliklar  va  (3.3)  tenglikning  har  ikkala  tomoniga  x 

o‘rniga x

0

 ni qo‘yib barcha b

0

, b

1

, b

2

, ..., b

n

 koeffitsientlar qiymatlarini topamiz: 

P

n

(x

0

)=f(x

0

)=b

0

,  

P

n

’(x

0

)=f’(x

0

)=b

1

, 

P

n

’’(x

0

)=f’’(x

0

)=2

⋅

1b

2

=2!b

2

, 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  

P

n

(n)

(x

0

)=f

(n)

(x

0

)=n

⋅

(n-1)

⋅

...

⋅

2

⋅

1b

n

=n!b

n

 

Bulardan  b

0

=f(x

0

), b

1

=f’(x

0

), b

2

=

!

2

1

f’’(x

0

), . . ., b

n

=

!

n

1

f

(n)

(x

0

)  hosil  qilamiz. 

Topilgan natijalarni (3.3) qo‘yamiz va  

P

n

(x)= f(x

0

)+ f’(x

0

)(x-x

0

)+ 

!

2

1

f’’(x

0

)(x-x

0

)

2

+ ... +

!

n

1

f

(n)

(x

0

)(x-x

0

)

n

,           (3.5) 

ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi. 

 

Teylor  ko‘phadi  (3.2)  shartni  qanoatlantirishini  isbotlaymiz.  Funksiya  va 

Teylor  ko‘phadi  ayirmasini  R

n

(x)  orqali  belgilaymiz:  R

n

(x)=f(x)-P

n

(x).  (3.4) 

shartlardan R

n

(x

0

)=R

n

’(x

0

)=...= R

n

(n)

(x

0

)=0 bo‘lishi kelib chiqadi.  

Endi  R

n

(x)=o((x-x

0

)

n

),  ya’ni 

0

x

x

lim

→

n

n

)

x

x

(

)

x

(

R

0

−

=0  ekanligini  ko‘rsatamiz.  Agar 

x

→

x

0

  bo‘lsa, 

0

x

x

lim

→

n

n

)

x

x

(

)

x

(

R

0

−

  ifodaning  0/0  tipidagi  aniqmaslik  ekanligini  ko‘rish 

qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda 

0

x

x

lim

→

n

n

)

x

x

(

)

x

(

R

0

−

=

0

x

x

lim

→

1

0

−

−

n

n

)

x

x

(

n

)

x

(

'

R

=…=

0

x

x

lim

→

)

x

x

(

!

n

)

x

(

R

)

n

(

n

0

1

−

−

= 

=

0

x

x

lim

→

!

n

)

x

(

R

)

n

(

n

=

!

n

)

x

(

R

)

n

(

n

0

=0, demak x

→

x

0

 da R

n

(x)=o((x-x

0

)

n

) o‘rinli ekan. 

 

Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi: 

 

Teorema. Agar y=f(x)  funksiya  x

0

  nuqtaning biror atrofida n  marta 

differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda x

→

x

0

 da quyidagi formula 

f(x)= f(x

0

)+ f’(x

0

)(x-x

0

)+ 

!

2

1

f’’(x

0

)(x-x

0

)

2

+ ... +

!

n

1

f

(n)

(x

0

)(x-x

0

)

n

+o((x-x

0

)

n

)  (3.6) 

o‘rinli bo‘ladi, bu erda R

n

(x)=o((x-x

0

)

n

) Peano ko‘rinishidagi qoldiq had. 

 

59 

Agar (3.6) formulada x

0

=0 deb olsak, Teylor formulasining xususiy holi 

hosil bo‘ladi: 

f(x)=f(0)+ f’(0)x+ 

!

2

1

f’’(0)x

2

+ ... +

!

n

1

f

(n)

(0)x

n

+o(x

n

).  (3.7) 

Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.