Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Matematik kutilishning ehtimliy ma’nosi.
Faraz qilaylik, n ta o‘tkazilgan bo‘lib, ularda X tasodifiy miqdor m₁ marta x₁ qiymat, m₂ marta x₂ qiymat, .. , m_k marta x_k qiymat qabul qilinsin. U holda X qabul qilingan barcha qiymatlar yig‘indisi quyidagiga teng:

Tasodifiy miqdor qabul qilgan barcha qiymatlarning arifmetik o‘rtacha qiymati ni topaylik, buning uchun topilgan yig‘indini sinashlarning jami soniga bo‘lamiz:

yoki

nisbat x₁ qiymatning W₁ nisbiy chastotasi, nisbat x₂ qiymatning W₂ nisbiy chastota va h.k. ekanligini inobatga olib,

Sinashlar soni etarlicha katta deb farz qilaylik. U holda nisbiy chastota taqriban hodisaning ro‘y berish ehtimoliga teng;

munosabatda nisbiy chastotalarni mos ehtimollar bilan almashtirib quyidagini hosil qilamiz:
.
Bu taqribiy tenglikning o‘ng tomoni M(X) dir.

Matematik kutilishning xossalari
1-xossa. O‘zgarmas miqdorning matematik kutilish shu o‘zgarmasning o‘ziga teng:⁷
M(C)=C
Isboti. C o‘zgarmasni mumkin bo‘lgan bitta C qiymatga ega bo‘lgan va uni p=1 ehtimol bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor sfatida qaraymiz. Demak,

Eslatma. C o‘zgrmas miqdorning X diskret tasodifiy miqdorga ko‘paytmasi deb, shunday CX diskret tasodifiy miqdorni olamiz, uning mumkin bo‘lgan qiymatlari X ning mumkin bo‘lgan qiymatlarini C o‘zgarmasga ko‘paytmalariga teng: CX ning mumkin bo‘lgan qiymatlarining ehtimollari X ning mumkin bo‘lgan tegishli qiumatlarnng ehtimollariga teng. Masalan, mumkin bo‘lgan x₁ qiymatning ehtimolo p₁ ga tehg bo‘lsa, u holda CX miqdorning Cx₁ qiymatni qabul qilish ehtimoli ham p₁ ga teng bo‘ladi.
2- xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Isboti. X tasodifiy miqdor quyidagicha ehtimollarning taqsimot qonuni bilan berilgan bo‘lsin:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Eslatmani inobatga olib , CX tasodiffiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz:

CX	Cx1	Cx2	...	Cxn
P	p1	p2