Qatorlarni yaqinlashish yoki uzoqlashishga tekshirishning taqqoslash metodiga doir misollar keltiring

4. Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi.
Teorema. Ushbu
(1)
qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ixtiyoriy  musbat son olinganda ham shunday n₀ natural sonni ko‘rsatish mumkin bo‘lib, barcha n>n₀ va istalgan natural p sonda , boshqacha aytganda
 (2)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isboti. Zaruriyligi. (1) qator yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsin.
U holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining Koshi kriteriyasiga ko‘ra ixtiyoriy  musbat son uchun shunday n₀ natural son topilib, barcha m> n₀ va n> n₀ larda
 (3)
tengsizlik bajariladi. m=n+p deb olib, (3) dan (2) ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. Teorema qator xususiy yig‘indilar ketma-ketligi {S_n} ning yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi. Demak, ta’rif bo‘yicha (1) qator yaqinlashuvchi.
Misol. Koshi kriteriyasidan foydalanib,

qatorning yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
Yechish. Ixtiyoriy  musbat soni uchun shunday n₀ natural son topilib, n>n₀ va istalgan r natural sonda  bajarilishini ko‘rsatamiz.
Ravshanki, . Bulardan

ya’ni tengsizlikning istalgan r da o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, da  tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy >0 son uchun n₀=[1/] deb olsak, n> n₀ va istalgan r natural son uchun  tengsizlikning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Demak, qator yaqinlashuvchi.

Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda uzoqlashuvchi qator deyiladi.
Agar bo‘lsa, u holda yoki kabi yozishga kelishamiz.
Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun kerak bo‘ladi.
Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz.
1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:


.
Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi


. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi  ko‘rinishda yozib olamiz. U holda
=

= bo‘ladi. Ravshanki, {S_n} ketma-ketlik limiti mavjud va  ga teng. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uni =, yoki = kabi yozish mumkin ekan.
2-misol. Umumiy hadi bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning n-xususiy yig‘indisi ga teng. Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
1, 0, 1, 0, ...
Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak, qator uzoqlashuvchi ekan.
Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini olishimiz mumkin:


 (3)
bunda a0. Bu qator geometrik qator deyiladi. Geometrik qator q ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning n-xususiy yig‘indisini qaraymiz. Geometrik progressiya birinchi n ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (q1)


o‘rinli. Agar q<1 bo‘lsa, u holda bo‘lib, mavjud va bo‘ladi. Demak, q<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi bo‘ladi.

Agar |q|>1 bo‘lsa, u holda va = bo‘ladi. Demak, bu holda geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi bo‘ladi. Bu holda xususiy yig‘indilar ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak (3) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi S_n=a+a+…a=na va = bo‘ladi.

Shunday qilib, geometrik qator q<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |q|1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi:

=