Qatorlarni yaqinlashish yoki uzoqlashishga tekshirishning taqqoslash metodiga doir misollar keltiring

2.Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari.

Bizga ushbu

va

qatorlar berilgan va c ixtiyoriy o‘zgarmas son bo‘lsin.
Ushbu

qator (1) qatorni c o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida hosil qilingan deyiladi.

qatorlar esa, mos ravishda (1) va (2) qatorlarning yig‘indisi va ayirmasi deb ataladi.
1-teorema. Agar (1) qator yaqinlashuvchi, yig‘indisi S ga teng bo‘lsa, u holda (3) qator ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi cS ga teng bo‘ladi.
Isboti. (3) qatorning n-xususiy yig‘indisini yozib olamiz: . Buni quyidagicha yozib olish mumkin: , bu yerda S_n (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi. Teorema shartiga ko‘ra , u holda limit mavjud bo‘ladi: .
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorni o‘zgarmas songa ko‘paytirish natijasida yana yaqinlashuvchi qator hosil bo‘ladi va uning yig‘indisini topish uchun berilgan qator yig‘indisini shu songa ko‘paytirish yetarli.
2-teorema. Agar (1) va (2) qatorlar yaqinlashuvchi va yig‘indilari mos ravishda S va S’ bo‘lsa, u holda (4) va (5) qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va ularning yig‘indilari mos ravishda S+S’ va S-S’ ga teng bo‘ladi.
Shunday qilib, yaqinlashuvchi qatorlarni chekli yig‘indilar kabi qo‘shish va ayirish mumkin ekan. Bu natijani yaqinlashuvchi qatorlarning algebraik yig‘indilari uchun ham umumlashtirish mumkin.
3-teorema. Agar yaqinlashuvchi qatorda hadlarning joylashish tartibini o‘zgartirmasdan ixtiyoriy guruhlash natijasida hosil bo‘lgan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi avvalgi qator yig‘indisiga teng bo‘ladi.

Qatorning qoldig‘i

Ushbu

qator berilgan bo‘lsin. Uning dastlabki k ta (tayinlangan son) hadini tashlab yuborish natijasida yangi qator hosil bo‘ladi:

(2) qator (1) qatorning qoldig‘i deyiladi.
3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
Teorema. Agar
(1)
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning a_n umumiy hadi n cheksizga intilganda nolga intiladi, ya’ni bo‘ladi.
Isboti. Faraz qilaylik, (1) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi S ga ya’ni bo‘lsin. U holda {S_n} ketma-ketlikning qism ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi va bo‘ladi.
Ravshanki. bundan mavjud va . Shunday qilib, (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning umumiy hadi nolga intilishi zarur ekan.
Yuqoridagi teoremadan qator uzoqlashishining yetarli sharti kelib chiqadi.
Natija. Agar (1) qatorning a_n umumiy hadi n cheksizga intilganda noldan farqli chekli limitga ega bo‘lsa, yoki limitga ega bo‘lmasa, u holda bu qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu natija ba’zi qatorlarning uzoqlashuvchi ekanligiga oson ishonch hosil qilishga yordam beradi.
3-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Qatorning umumiy hadi ga teng va demak, yuqoridagi natijaga ko‘ra qator uzoqlashuvchi.
4-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishiga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning umumiy hadi a_n= va . Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
Yuqorida isbotlangan teoremaning teskarisi, ya’ni shartdan qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqavermaydi.
Bunga misol sifatida garmonik qator deb ataluvchi ushbu qatorni qaraymiz:
(2)
Garmonik qatorning uzoqlashuvchi ekanliligini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskaridan, ya’ni garmonik qator yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz. U holda uning xususiy yig‘indisi chekli S limitga ega bo‘ladi. Ravshanki, qatorning xususiy yig‘indisi ham shu limitga ega bo‘ladi.
Bu holda
.
Ammo
,
ya’ni , bundan ketma-ketlikning da nolga intilmasligi kelib chiqadi. Bu esa garmonik qator yaqinlashuvchi degan farazimizga zid. Demak, garmonik qator uzoqlashuvchi ekan.