Qatorlar nazariyasi Reja

126-§. Funktsianal qatorlar

Agar qatorning hadlari ning funktsiyalari bo’lsa, bu qator funktsianal qator deyiladi.

Ushbu:
Funktsional qatorni (f.q.) qaraymiz.
ga aniq qiymat berib, turli srn qatorlarning hosil qilamiz:

(2) sonli qator bo’lib, u yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
ning funktsional qator yaqinlashadigan qiymatlari to’plami shu qatorning yaqinlashishi sohasi deyiladi.
Ravshanki, qatorning yaqinlashishi sohasidagi yig’indisi ning funktsiyasi bo’ladi va ko’rinishda belgilanadi.
Biz asosan funktsional qatorning bir xususiy holini, ya’ni bo’lganda hosil bo’ladigan darajali qator deb ataluvchi funktsional qatorni o’rganamiz.


. Darajali qatorlar

Ushbu

ko’rinishdagi f. q. darajali qator deb ataladi, bu erda o’zgarmas sonlar bo’lib, ular darrajali qatorning (d. q.) koeffitsentlari deyiladi. D. q. ning yaqinlashish sohasi interval, segment va yarim segment va xatto biror nuqta bo’lishi mumkin.
D. q. ning yaqinlashish sohasi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.
Teorema (Abel teorema) Abel Nil’s Xenrik (1802 - 1829) norvegiya matematigi.
1) Agar d. q. noldan farqli biror qiymatda yaqinlashsa ning

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida absolyut yaqinlashadi;
2) Agar (3) d. q. biror qiymatda uzoqlashsa, ning

tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir qiymatida uzoqlashadi.
Abel teoremasi d. q. yaqinlashish oralig’ini topish imkonini beradi. Haqiqatan d. q. nuqtada yaqinlashsa, Abel teoremasiga asosan intervalda absolyut yaqinlashadi va nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsa interval tashqarisida uzoqlashuvchi bo’ladi.
Bundan, shunday son mavjudki, bo’lganda d. q. absolyut yaqinlashadi va bo’lganda uzoqlashadi soni d. q. ning yaqinlashish radiusi deyiladi.
intervalning ikki uchida berilgan qatorning yaqinlashishi alohida sonli qator sifatida tekshiriladi. nuqtalarda qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishiga qarab, qatorning yaqinlashish sohasi bo’lishi mumkin.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusi

formulalarning biri bilan topiladi.
(3) D. q. ning muxim xossalari shundan iboratki, agar (1) oralig’da yaqinlashsa, uning yig’indisi shu intervalda uzluksiz bo’ladi oraliqda hadlab differentsiallash va integrallash mumkin, ya’ni: