Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi

L va L n o'lchovli R fazoning qism fazolari bo'lsin.

1. 
   ta'rif. R fazo L_x va L₂ qism fazolarning to'g'ri yig'indisi orqali ifodalanadi deyiladi, agarda R fazoning har bir x elementi yagona usul bilan
   

x = Xj + x₂
ko'rinishda ifodalansa. Bunda x_x L_x fazoning x₂ esa L₂ fazoning elementi.
Bu hol R = Z[ ®Z₂ ko'rinishda belgilanadi. Oxirgi tenglik R fazoning L_x va L₂ fazolarning to'g'ri yig'indisiga yoyilmasi deyiladi.
R uch o'lchovli erkin vektorlar fazosi, L_x esa Oxy tekisligiga parallel bo'lgan barcha vektorlar fazosi L₂ esa Oz o'qiga parallel bo'lgan barcha vektorlar fazosi bo'lsa, u holda R L₁ va L₂ fazolarning to'g'ri yig'indisidan iborat bo'ladi.
Teorema. n o'lchovli R fazo L va L₂ qism fazolarning to'g'ri yig'indisidan iborat bo'lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o'lchovi L_x va L₂ fazolar o'lchovlari yig'indisidan iborat bo'lishi etarli.
Endi n o'lchovli chiziqli fazoda bazis o'zgarganda koordinatalarni o'zgarishi va bazislarni almashtirishni qaraylik.
e_x,e₂,...,e_n va e\,e\ ,..., e\ lar n o'lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar bo'lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz qilaylik e\,e\ ,...,e\ elementlar e_x,e₂,...£_n lar orqali quyidagicha ifodalansin:


13

^а^+а^+.-. + а^, e\=a2ie+a22e2+... + a2 en, (1) e	П - ^ani^ei^+ an2^e2^+ •"				+ a e . nn n
U holda birinchi e.e,...e 1~ 2~ ~ n		bazisdan		^ei , ^e2 •>.'		.., e\ bazisga o'tish matritsasi
quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
	^<а11 ^ai2		... ^ain
A =	^a2i ^a22		... ^a2n				(2)
	<^an1 ^an2		... a ; nn /

Bu matritsaning d determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga o'tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo'ladi. Ma'lumki, A matritsaga teskari matritsa	An	/ d	A1 / d ..	. Ani	/ d^y
B =	A12	/ d	A22 / d ..	. An2	/ d
	Ui„	/d	A2 n / d ..	. Ann	/ d,

A -esa A matritsaning a_tj elementining algebraik to'ldiruvchisi.
(1) ning birinchi tenhligini A ga, ikkinchisini A₂. ga va hakazo n -sini esa A_nj ko'paytirib, so'ngra ularni qo'shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
e\ ^Ai ₇ + e^l₂ ^A2 ₇ + ••• + ^^^(аЛj + a₂ Д_} +.... + a_m^A_nj)
Z=1
i - ustun elementlarini mos j - ustun algebraik to'ldiruvchisiga ko'paytmalari yig'indisi i* j bo'lganda nolga tengligini hisobga olsak (i = j da d ga teng) Oxirgi tenglikdan
^e1 ^A1 j ^{+ e}\ ^A2 j ⁺ - ^{+ e}\^AnJ ^{= e}j^d
bundan


14




А , Д , А. ,
e — —— e н — e + н—— e j = 1 2 n
^ej ^e1 ^e2 •”• in, ^L^,..., ⁿ
d d d


yoki


Л .1


e = e!+^1 e1+....+ _e
¹ d ¹ ' '


1
d ⁿ


d '


_e = 4^ _e‘
^e2 j ^e1
d


A
^A" ,
d ²


4^ _e
d ⁿ


(4)


Д , Д , A ,
e = —e1+ -2-e\ +.... + e
n -I 1 7 2 7 n
d d d


(4) formula e\,e\ ,...,e\ bazisdan e_x,e₂,...£„ bazisga o'tish matritsasi A matritsaga


teskari matritsa orqali o'tishni ifodalaydi. Bu A matritsaga teskari matritsani A^-1 orqali belgilaymiz.
Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.
Maxsusmas (2) matritsa orqali e_x,e₂,...,e_w bazisdan ej,e\ ,...,e\ bazisga o'tilgan


bo'lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo'lsin. (x,x₂,.-.-X_n) esa uni /0/0 /О '-71 Q/4 Q CT1 dAd 01 (V¹ V¹ V*¹ A PCO /О¹ /О¹ /О^{1 r}71 C /4 Q CT 1
e,e₂,...,e uazisuagi Kooiuinatasi (Xj,x₂,...,x^) esa e ,e ,***, e uazisuagi
koordinatasi bo'lsin, ya'ni
_x=_xⁱ_e¹ + T¹ e -+- -i-v¹ e = _xe+v_e + -i-v_e
^X •/Vi I e^^ I ... I •/Vi I e^^ I ... I
11 22 n n 11 22 n n
e, e ,...,e lar o'rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo'yib
A A A

1. 
   1 . 1 1 . . 11 /^11 1 . ^21 1 , , n1 1\ ,
   

x = x^^ +x₉^^-... + x e =x₁(—¹¹ e^—²¹ e, +... 4 e ) +

2. 
   22 n n 1 x 7 1 72 -tn/
   

d d d
_{+ x} (An_e^4i_e^ ,4i_e'_{)+ + x (}A1n_e^4n_e^ ₊4n_ei₎
-I- Л₂^{( e}1 T^e2^ — T ^en ^Ли⁽ ₇ ^e1 ^e2 ^en^).
d d d d d d
Oxirgi tenglikdan e^,e\ ,..., e\ bazis bo'yicha yagona yoyilma o'rinli ekanligidan (X,x₂,...,x_n) koordinatadan (x1,x\ ,..., x1) koordinataga o'tish formulasi kelib chiqadi:


15

^x

4i
, ^x
d


+ 42 x + .■.■ + —x
d ² d ⁿ


x\


4i
= -²¹ x.
d ¹


A„ A,„
+ ^2 x + ..•• + ^^ x
d ² d ⁿ


(5)


₁ A, A, A
V¹ _ n1 I n2 I I nn
^xn J ^xi T ^x 2^~ .... 1 ^xn
d d d
Tasdiq. Ixtiyoriy maxsusmas A matritsa uchun teskari A^-1 matritsa yagonadir.
Isboti. Faraz qilaylik, yana bir C matritsa mavjud va
AC = CA = E


bo'lsin. U holda


CAT¹ =C (AA ) = CE = C
CAA~'= (CA) A~' = EA = A’¹
bundan C = A¹ kelib chiqadi.

2. 
   Evklid fazosi va uni sodda xossalari.
   

R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar ko'paytmasi deb ataluvchi (x, y) haqiqiy sonni mos qo'yish qoidasi berilgan bo'lsa.
   
2. 
   Ushbu aniqlangan skalyar ko'paytma quyidagi to'rtta aksiomani qanoatlantirsa:
   

1. 
   (x, y ) = (y, x) (o'rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi).
   
2. 
   (x + x, y) ⁼ (x, y^ (x₂,y) (tarqatish xossasi).
   
3. 
   (^>c,y)-Л(x,y) barcha haqiqiy X lar uchun.
   
4. 
   (x,x)> 0, agarda x- noldan farqli element bo'lsa; (x,x)- 0, agar nol
   

element bo'lsa.


16




Agar o'rganiladigan ob'ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo'lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi.
Evklid fazosiga misollar keltiramiz.

1. 
   misol. Barcha erkin vertorlarning B₃ chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita ixtiyoriy vektorining skalyar ko'paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko'paytma kabi kiritaylik( ya'ni bu vektorlar uzunligini ko'paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko'paytmasi).U holda ko'rish qiyin emaski skalyar ko'paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, B₃ fazo ushbu aniqlangan skalyar ko'paytmaga nisbatan evklid fazosi bo'ladi.
   
2. 
   misol. Barcha a oraliqda aniqlangan va uzluksiz x (t) funksiyalarning C[a,b\- cheksiz o'lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita x(t) va y(t) funksiyalarning skalyar ko'paytmasini bu funksiyalarni ko'paytmasini ( a dan b gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz:
   

Jx( t) y (t) dt. (1)